Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.3 - Ex. 33
Expresse a integral dupla em termos de uma integral unidimensional com relação a . Em seguida, use a calculadora para avaliar a integral correta com quatro casas dimensionais.
Onde está o disco com centro na origem e raio 1.
Passo 1
Fala, amigos! Tudo de boa?
O enunciado nos dá uma integral dupla:
Como uma integral em relação a . Uma integral unidimensional é aquela que depende só de uma variável, que o enunciado pede que seja .
Aqui, nossa região é:
o disco com centro na origem e raio 1
Nossa técnica aqui é transformar nossa integral para coordenadas polares usando:
(equação da circunferência)
E achar nossos limites de integração com o gráfico da região
Daí escrevemos a integral “de dentro” em relação a . Como resolvemos a integral de dentro antes, vai sobrar para nós uma integral de , que é o que a questão pede.
Por fim, vamos usar uma calculadora para realizar o cálculo da integral e achar seus valores com 4 casas decimais, ou seja, com 4 casas depois da vírgula.
Passo 2
Como a nossa região é uma região circular (disco), em coordenadas polares, podemos escrevê-la da seguinte forma:
Como o círculo tem centro em 0 e raio igual a 1, a variação de é:
Partindo do eixo no sentido anti-horário, para completar o circula, precisamos percorrer , ou seja, :
Fazendo:
Também vamos parametrizar o termo dentro da função , .
Temas da equação da circunferência que:
Então, ficamos como:
Tínhamos:
Portanto, a nossa integral transforma-se em:
Colocamos a integral antes, para depois ficarmos somente com a integral em função de .
Passo 3
Inicialmente, vamos resolver a primeira parte da integral. Desta forma, temos:
Então:
É nossa integral unidimensional de que o enunciado nos pediu.
Passo 4
Para resolvermos esta integral, precisamos da ajuda de softwares ou calculadoras que o resolvam. Jogando nossa integral:
No software WolframAlpha:
Aproximando o valor da integral para 4 casas decimais, temos: