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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.4 - Ex. 11

Encontre T , N   e   κ para as curvas espaciais nos Exercícios 9-16.

11. r t = e t cos ⁡ t i + e t sen ⁡ t j + 2 k

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

O vetor tangente unitário é simplesmente uma derivada normalizada da equação da curva:

T = r ' ( t ) r ' ( t )

Para prosseguir com o cálculo, encontramos a derivada do vetor tangente unitário T ' e depois o normalizamos. A partir daí, desde:

T ' = d T d t

Encontramos o vetor normal unitário que é dado como:

N = T ' T '

Na etapa final dos cálculos, encontramos a curvatura que é definida como:

κ = T ' r '

Passo 2

A curva que nós estamos considerando é

r t = ( e t cos ⁡ t ) i + ( e t sen ⁡ t ) j + 2 k

A derivada da curva é igual a

r ' t = e t cos ⁡ t - e t sen ⁡ t i + e t sen ⁡ t + e t cos ⁡ t j + 0 k

A norma (medida) da derivada pode ser dada como

r ' = e t 2 ∙ cos 2 ⁡ t + 2 ∙ sen 2 ⁡ t = e t 2

Com isso podemos calcular o vetor tangente:

T = r ' r ' = 1 2 ( cos ⁡ t - sen ⁡ t ) i + 1 2 sen ⁡ t + cos ⁡ t j + 0 k

Passo 3

A próxima etapa em nossos cálculos exige que obtenhamos uma derivada do vetor tangente. Neste caso é igual a:

T ' = 1 2 ( - sen ⁡ t - cos ⁡ t ) i + 1 2 cos ⁡ t - sen ⁡ t j + 0 k

O novo vetor não precisa ser o vetor unitário, então calculamos sua norma:

T ' = 1

O vetor normal unitário é então dado como:

N = T ' T ' = 1 2 ( - sen ⁡ t - cos ⁡ t ) i + 1 2 cos ⁡ t - sen ⁡ t j + 0 k

Finalmente, a curvatura é igual a:

κ = T ' r ' = 1 2 e t

Resposta

T = 1 2 ( cos ⁡ t - sen ⁡ t ) i + 1 2 sen ⁡ t + cos ⁡ t j + 0 k

N = 1 2 ( - sen ⁡ t - cos ⁡ t ) i + 1 2 cos ⁡ t - sen ⁡ t j + 0 k

κ = 1 2 e t

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