Enunciado

Encontre T, N e k para as curvas planas nos Exercícios 1-4

r t = t   i + ( ln ⁡ cos ⁡ t ) j , - π 2 < t < π 2

Passo 1

Fala minha galera querida!! Vamos encontrar o unitário, a normal do unitário e a curvatura a partir das fórmulas que aprendemos na seção, mas antes devemos encontrar v e seu módulo.

v = d r d t = d d t ( t   i + ln ⁡ cos ⁡ t ) j

v = i + - s e n   t cos ⁡ t j = i + - t g   t j

v = 1 2 + - t g   t 2

Das relações trigonométricas temos que 1 + t g 2   t = sec 2 ⁡ t

v = sec 2 ⁡ t

v = sec ⁡ t

Passo 2

Vamos encontrar T ,

T = v v

T = i + - t g   t j sec ⁡ t

T = cos ⁡ t i - sen ⁡ t j

Passo 3

Para encontrar a normal precisamos derivar o unitário em t e depois encontrar o módulo,

d T d t = d d t cos ⁡ t i - sen ⁡ t j

d T d t = - s e n   t   i - cos ⁡ t j

d T d t = - s e n   t 2 + - cos ⁡ t 2

d T d t = 1

N = d T d t d T d t

N = - s e n   t   i - cos ⁡ t j 1

N = - s e n   t   i - cos ⁡ t j

Passo 4

E por último vamos encontrar a curvatura,

k = 1 v ⋅ d T d t

k = 1 sec ⁡ t ⋅ 1

k = cos ⁡ t

Te espero na próxima questão 😉.

Resposta

T = N = cos ⁡ t i - sen ⁡ t j , k = cos ⁡ t .

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