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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 12.3 - Ex. 39

Determine o vetor projeção e a projeção escalar de b sobre a

a = i + k ,     b = i - j

Passo 1

Para podermos determinar o ângulo entre dois vetores, precisaremos utilizar a definição do vetor projeção. Relembrando, temos:

p r o j a b = a ⋅ b a 2 ⋅ a

Logo, precisamos calcular a norma do vetor a , obter o produto interno entre os vetores a e b e substituir na fórmula acima!

Com isto, obteremos o vetor projeção. Já o valor da projeção escalar será obtido ao obtermos o módulo deste vetor. Portanto, vamos aos cálculos!

Passo 2

Vamos começar determinando o módulo do vetor a . Desta forma,

a = 1 2 + 0 2 + 1 2

a = 2

Agora vamos calcular o produto interno entre os dois vetores. Logo,

a ⋅ b = i + k ⋅ i - j

a ⋅ b = 1 ⋅ - 1 + 0 ⋅ - 1 + 1 ⋅ 0

a ⋅ b = - 1 + 0 + 0 = - 1

Passo 3

Agora que obtemos todas as informações necessárias, vamos determinar o vetor projeção de b em a . Para isto, vamos substituir os valores encontrados na fórmula do Passo 1. Logo,

p r o j a b = a ⋅ b a 2 ⋅ a

p r o j a b = - 1 2 2 ⋅ i + k

p r o j a b = - 1 2 ⋅ i + k = - 1 2 i - 1 2 k

Passo 4

Pronto! Agora que obtivemos o vetor projeção, vamos calcular a sua norma!

c o m p a b = p r o j a b = - 1 2 2 + 0 2 + - 1 2 2

c o m p a b = 2 4 = 2 2

Resposta

p r o j a b = - 1 2 i - 1 2 k

c o m p a b = 2 2

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