Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 11.Exercício - Ex. 44

Sejam uma base ortonormal positiva e uma operação interna em que satisfaz as propriedades

Supondo que

prove que , isto é , quaisquer que sejam e .

Passo 1

Bora lá!

Para começarmos a resolução vamos ver o que a questão nos dá, beleza?

É dada uma operação interna que satisfaz as seguintes propriedades:

E ainda, que para os vetores da base canônica, temos os seguintes resultados:

Passo 2

Se nós observarmos os resultados obtidos para a base canônica, percebemos que de fato a operação apresenta os mesmos resultados do produto vetorial. Mas só isso não basta, vamos provar de maneira algébrica que as relações são válidas para qualquer vetor?

Passo 3

Tomando os vetores como:

Substituindo nas propriedades da operação interna, temos:

Ufa! Chega de contas.

Qual é a conclusão que podemos tirar?

Se liguem, como para as bases ortonormais a operação definida é um produto vetorial e as demais propriedades do problemas são válidas para o produto vetorial, pode concluir que existe uma identidade entre as operações, que é exatamente o que queríamos provar 😉.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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