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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.6 - Ex. 23

Determine a área da parte finita do paraboloide y = x 2 + z 2 limitado pelo plano y = 25 .

Passo 1

Pela equação 3 do capítulo, temos que

A S = ∬ D 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A

Toda transformação de sistema de coordenada, requer que calculemos o jacobiano, definido como

J = ∂ x , y , z ∂ u , v , w = d e t ∂ x ∂ u ∂ y ∂ u ∂ z ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ v ∂ z ∂ v ∂ x ∂ w ∂ y ∂ w ∂ z ∂ w

Onde u , v , w são as coordenadas do novo sistema.

Passo 2

Rescrevendo nossa f ( x , z ) , ficamos com

f x , z = y = x 2 + z 2

E temos que nossa eq. 3 se transforma

A S = ∬ D 1 + ∂ y ∂ x 2 + ∂ y ∂ z 2 d A

Assim temos que

∂ y ∂ x = 2 x

e

∂ y ∂ z = 2 z

Assim

1 + ∂ y ∂ x 2 + ∂ y ∂ z 2 = 1 + 4 x 2 + 4 z 2

Como o paraboloide produz círculos em sua projeção, temos que nosso paraboloide vai do plano x z até o plano y = 25 , ou seja, usando coordenadas cilíndricas

x 2 + z 2 = 25 → 0 ≤ r ≤ 5

A nossa integral fica assim:

A S = ∫ 0 2 π ∫ 0 5 1 + 4 r 2   r   d r   d θ

Passo 3

Agora só falta fazer essa coisinha aí!

Primeiro vamos dar uma organizada nela

A S = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 5 1 + 4 r 2 r d r

Já da pra fazer a integral em θ

A S = 2 π ∫ 0 5 1 + 4 r 2 r d r

Agora pra fazer a integral em r temos que fazer uma substituição simples.

Fazendo u = 1 + 4 r 2 → d u = 8 r   d r

E os limites de integração ficam

r = 0 → u = 1

r = 5 → u = 1 + 4 5 2 = 101

Logo temos

A S = 2 π ∫ 1 101 u d u 8 = π 4   u 3 3 / 2 1 101 = π 4 2 3   u u 1 101

A S = π 6 101 101 - 1

Feshow? ;)

Resposta

A S = π 6 101 101 - 1

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