Determine a área da parte finita do paraboloide limitado pelo plano .
Passo 1
Pela equação do capítulo, temos que
Toda transformação de sistema de coordenada, requer que calculemos o jacobiano, definido como
Onde são as coordenadas do novo sistema.
Passo 2
Rescrevendo nossa , ficamos com
E temos que nossa eq. se transforma
Assim temos que
e
Assim
Como o paraboloide produz círculos em sua projeção, temos que nosso paraboloide vai do plano até o plano , ou seja, usando coordenadas cilíndricas
A nossa integral fica assim:
Passo 3
Agora só falta fazer essa coisinha aí!
Primeiro vamos dar uma organizada nela
Já da pra fazer a integral em
Agora pra fazer a integral em temos que fazer uma substituição simples.
Fazendo
E os limites de integração ficam
Logo temos
Feshow? ;)