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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 11.Exercício - Ex. 51b

(b) Sejam B 1 a base ortonormalizada de E pelo Processo de Gram-Schmidt e B 2 = ( i → , j → , k → ) , a base ortonormalizada de E pelo processo alternativo descrito na Observação 11-9. Prove que B 1 = B 2 (se E é positiva) ou B 1 = i → , j → , - k →   (se E é negativa).

Passo 1

Bora lá!

Conside as bases B → 1 = ( r → ,   s → ,   t → ) e B → 2 = ( i → ,   j → ,   k → ) e a base ortonormalizada E → = ( e → 1 ,   e → 2 ,   e → 3 ) :

Pelo Processo de Gram-Schmidt sabemos que os vetores devem ser da seguinte forma:

r → é o versor de e → 1

s → é o versor de e → 2 - p r o j r → e → 2

t → é o versor de e → 3 - p r o j r → e → 3 - p r o j s → e → 3

Já pelo processo alternartivo descrito na Observação 11-9, temos que os vetores devem ser:

i → é o versor de e → 1

j → = e → 1 ∧ e → 2 ∧ e → 1 ( e → 1 ∧ e → 2 ∧ e → 1 |

k → = e → 1 ∧ e → 2 | e → 1 ∧ e → 2 |

Passo 2

Logo de cara, podemos ver que r → = i → .

Vamos desenvolver a expressão de s → em B 1 . Usando a fórmular de projeção de um vetor sobre o outro, temos:

p r o j r → e → 2 = p r o j e → 1 e → 2 = e → 2 e → 1 e → 1 2 e → 1

Assim, temos que a expressão de s → será:

s → = e → 2 - e → 2 e → 1 e → 1 2 e → 1

Passo 3

Agora, vamos desenvolver a expressão de j → em B 2 .

Pela propriedade do produto vetorial com três vetores, temos:

u → ∧ v → ∧ w → = - v → . w → u → + u → . w → v →

Trazendo para a nossa questão,

e → 1 ∧ e → 2 ∧ e → 1 = - e → 2 . e → 1 . e → 1 + e → 1 . e → 1 e → 2

Dessa forma, nota-se que os vetores s → e j → são combinações lineares dos vetores e → 1 e e → 2 . Portanto, podemos concluir que s → e j → têm o mesmo sentido e consequentemente, por serem versores, o mesmo comprimento. Logo,

s → = j →

Passo 4

Por fim, como k → = i → ∧ j → = r → ∧ s → e temos que t → = r → ∧ s → para B 1 positiva e t → = - r → ∧ s → para B 1 negativa.

Podemos afirmar que B 1 = B 2 se E é positiva e B 1 = i → , j → , - k → se E é negativa.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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