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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 13.3 - Ex. 13

(a) Determine os vetores tangente e normal unitários T(t) e N(t).

(b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.

r t = ( 2   s e n   t ,   5 t ,   2 cos ⁡ t )

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Vou te ajudar a resolver essa atividade em que precisamos encontrar os vetores tangentes e normal unitário.

Para isso, deveremos utilizar as fórmulas:

T t = r ' t r ' t

E

N t = T ' t T ' t

Então deveremos derivar r t e encontrar r ' t , encontrar T t e derivar T t . Já para a fórmula 9 dita na letra b), ela é a seguinte:

k t = T ' t r ' t

Passo 2

O primeiro passo é calcular a derivada r ' ( t ) da curva dada, para isso basta derivarmos cada termo da curva r t . Temos:

r ' t = ( 2 cos ⁡ t ,   5 ,   - 2   s e n   t )

Agora podemos obter o módulo da derivada:

r ' t = x t 2 + y t 2 + z t 2

Substituindo os valores:

r ' t = 4 cos 2 ⁡ t + 25 + 4 s e n 2 t

Utilizando a identidade trigonométrica fundamental:

r ' t = 4 ( cos 2 ⁡ t + s e n 2 t ) + 25

r ' t = 29

Passo 3

O vetor tangente unitário T ( t ) é dado por:

T t = r ' t r ' t

T t = 1 29 ( 2 cos ⁡ t ,   5 ,   - 2   s e n   t )

T t = ( 2 29 cos ⁡ t , 5 29 ,   - 2 29   s e n   t )

Já a derivada do vetor T ( t ) é:

T ' t = 1 29 ( - 2 sen t ⁡ ,   0 ,   - 2 cos ⁡ t )

O módulo de T ' t é dado por:

T ' t = x t 2 + y t 2 + z t 2

Substituindo:

T ' t = 1 29 2 4 s e n 2 t + 4 cos 2 ⁡ t

Utilizando da identidade trigonométrica fundamental:

T ' t = 1 29 4

T ' t = 2 29

Passo 4

Agora já é possível calcular o vetor normal unitário N ( t ) usando os resultados anteriores.

N t = T ' t T ' t

Substituindo os valores anteriores:

N t = 1 2 29   1 29 ( - 2 sen t ⁡ ,   0 ,   - 2 cos ⁡ t )

Realizando a simplificação:

N t = 1 2 ( - 2 sen t ⁡ ,   0 ,   - 2 cos ⁡ t )

N t = ( - sen t ⁡ ,   0 ,   - cos ⁡ t )

Passo 5

O raio de curvatura é dado por:

k t = T ' t r ' t

Então tomamos os resultados que já obtivemos anteriormente e apenas substituímos na fórmula:

k t = 2 29 29

Simplificando o quociente de frações:

k t = 2 29

Resposta

T t = ( 2 29 cos ⁡ t , 5 29 ,   - 2 29   s e n   t )

N t = ( - sen t ⁡ ,   0 ,   - cos ⁡ t )

k t = 2 29

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