Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.3 - Ex. 7
Calcule a integral dupla.
Passo 1
Fala, amigos! Tudo numa boa?
A questão quer o valor da integral dupla:
Onde é:
Para calcular integrais duplas usamos o Teorema de Fubini:
Se for contínua no retângulo , então:
Para resolver integrais duplas a gente começa “de dentro pra fora” realizando primeiro a integral que está pra dentro, e depois esse resultado será a integral de fora.
Nós podemos escolher qual variável vamos integrar primeiro. Essa escolha vai depender de qual ordem vai deixar nosso cálculo de integral mais simples.
Para os limites de integração da nossa série, o enunciado nos dá:
E:
São nossos intervalos de integração da integral dupla. Como o intervalo de integração para tem termos dependentes de , vamos colocar a integral de como a integral “de dentro”, já que isso simplifica nosso cálculo. Então, teremos:
Bora resolver!
Passo 2
Galera, primeiro vamos escrever a integral dupla na seguinte forma:
Quando a gente tem uma integral dupla, a gente sempre começa resolvendo de dentro pra fora, assim:
Calculando o resultado da integral de dentro em relação a , tratamos como constante:
Aplicando os limites de integração:
Multiplicando e simplificando os termos, ficamos finalmente com:
Passo 3
Agora, é só resolver a integral simples que restou:
Resolvendo e aplicando os limites de integração:
Show? Então: