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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 13.3 - Ex. 16

(a) Determine os vetores tangente e normal unitários T(t) e N(t).

(b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.

r t = ( t 2 ,   2 t ,   ln t ⁡ )

Passo 1

Olá, meu amigo. Vamos juntos resolver essa atividade.

A gente precisa encontrar os vetores tangentes e normal unitários da curva parametrizada:

r t = ( t 2 ,   2 t ,   ln t ⁡ )

Para isso, deveremos utilizar das seguintes fórmulas:

T t = r ' t r ' t

E

N t = T ' t T ' t

Então veja que precisaremos derivar a nossa equação da curva, encontrarmos o modulo dela e depois substituir na fórmula de T t . Com T t em mãos, poderemos prosseguir para N t .

Além disso, deveremos utilizar a fórmula 9 :

k = T ' t r ' t

Passo 2

  1. O primeiro passo é calcular a derivada r ' ( t ) da curva dada. Temos:

    r ' t = 2 t ,   2 , 1 t

    O módulo do vetor tangente, calculado acima, é:

    r ' t = 4 t 2 + 4 + 1 t 2

    Realizando o m m c :

    r ' t = 4 t 4 + 4 t 2 + 1 t 2

    Colocando em termos de produto notável para que possamos simplificar:

    r ' t = 2 t 2 + 1 2 t 2

    Então simplificando:

    r ' t = 2 t 2 + 1 t

    Passo 3

    O vetor tangente unitário T ( t ) é dado por:

    T t = r ' t r ' t

    Substituindo:

    T t = t 2 t 2 + 1 2 t ,   2 , 1 t

    Realizando o produto:

    T t = 2 t 2 2 t 2 + 1 ,   2 t 2 t 2 + 1 ,   1 2 t 2 + 1

    Calculado o vetor unitário T ( t ) , podemos obter sua derivada:

    T ' t = 4 t 2 t 2 + 1 2 ,   - 4 t 2 + 2 2 t 2 + 1 2 ,   - 4 t 2 t 2 + 1 2

    O módulo de T ' t deve ser calculado. Temos:

    T ' t = 16 t 2 + - 4 t 2 + 2 2 + 16 t 2 2 t 2 + 1 2 2

    Simplificando os termos possíveis:

    T ' t = 4 ( 4 t 4 + 4 t 2 + 1 ) 2 t 2 + 1 2 2

    Colocando em termos de produtos notáveis para simplificação:

    T ' t = 4 2 t 2 + 1 2 2 t 2 + 1 2 2

    Retirando a raiz:

    T ' t = 2 2 t 2 + 1 2 t 2 + 1 2

    Simplificando os termos:

    T ' t = 2 2 t 2 + 1

    Passo 4

    Com base nos resultados anteriores podemos calcular o vetor normal unitário

    N t = T ' t T ' t

    Temos

    N t = 2 t 2 + 1 2 4 t 2 t 2 + 1 2 ,   - 4 t 2 + 2 2 t 2 + 1 2 ,   - 4 t 2 t 2 + 1 2

    N t = 2 t 2 t 2 + 1 ,   - 2 t 2 + 1 2 t 2 + 1 ,   - 2 t 2 t 2 + 1

    Passo 5

O raio de curvatura é dado por

k t = T ' t r ' t

k t = 2 2 t 2 + 1 2 t 2 + 1 t

Organizando as frações:

k t = 2 2 t 2 + 1 ⋅ t 2 t 2 + 1

Realizando o produto:

k t = 2 t 2 t 2 + 1 2

Resposta

T t = 2 t 2 2 t 2 + 1 ,   2 t 2 t 2 + 1 ,   1 2 t 2 + 1

N t = 2 t 2 t 2 + 1 ,   - 2 t 2 + 1 2 t 2 + 1 ,   - 2 t 2 t 2 + 1

k t = 2 t 2 t 2 + 1 2

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