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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 13.2 - Ex. 26

Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado.

x = ln ⁡ t           y = 2 t         z = t 2     ;     ( 0,2 , 1 )

Passo 1

Olá, meu querido aluno. Vem comigo resolver essa atividade.

Aqui a gente tem a curva parametrizada:

x = ln ⁡ t           y = 2 2         z = t 2

E precisamos encontrar as equações paramétricas da reta tangente a essa curva no ponto:

0,2 , 1

Em uma equação paramétrica do tipo:

x = x t ,     y = y t ,     z = z ( t )

A reta tangente dessa equação paramétrica é:

r t = x t , y t , z t + t x ' t , y ' t , z ' t

Isso é, a soma do ponto de tangencia x t ,   y t ,   z t com o vetor diretor r ' t no ponto de tangente t que iremos encontrar.

Passo 2

Queremos saber a equação paramétrica da reta tangente da seguinte função vetorial:

x = l n ⁡ ( t ) ,     y = 2 t ,     z = t 2

No ponto:

( 0,2 , 1 )

Primeiro vamos descobrir para que tempo de t conseguimos o ponto 0,2 , 1 , ou seja, satisfz as equações em x , y e z :

x = l n ⁡ ( t ) = 0 y = 2 t = 2 z = t 2 = 1

t = 1 t = 1 t = ± 1

O único valor que satisfaz as 3 equações é t = 1 .

Passo 3

Vamos agora calcular o vetor diretor da tangente à equação paramétrica no ponto t = 1 . Primeiro precisamos derivar r t :

x ' t = 1 t y ' t = 1 t z ' t = 2 t

Para t = 1 :

r ' 1 = 1,1 , 2

Então esse é o nosso vetor diretor. Para encontrarmos nossa equação da reta tangente e que passa pelo ponto dado, deveremos então substituir na fórmula apresentada no passo 1 .

r t = x t , y t , z t + t x ' t , y ' t , z ' t

Então temos o ponto de tangente, e temos o nosso vetor diretor:

r t = 0,2 , 1 + t 1,1 , 2

r t = ( t , t + 2,2 t + 1 )

Agora encontramos as equações paramétricas:

x t = t

y t = t + 2  

E

z t = 2 t + 1

Resposta

r t = ( t , t + 2,2 t + 1 )

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