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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.3 - Ex. 19

(a) Determine os vetores tangente e normal unitários T ( t ) e N ( t ) .

(b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.

r t = 2 t ,   e t , e - t

Passo 1

Fala ai pessoal! Belezinha?

Para começarmos a resolver, vamos montar uma estratégia de resolução? Saber quais são os passos?

Se liga nas dicas que preparei.

Vamos começar encontrando a primeira e a segunda derivada da posição r ( t ) .

r t = 2 t ,   e t , e - t

Em seguida calcular o vetor tangente unitário T ( t ) , utilizando a derivada do vetor posição e o módulo da derivada do vetor posição.

T t = r ' t r ' t

e por fim podemos calcular a curvatura com a fórmula 9 .

k t = | T ' t | r ' t

Vamos resolver!

Passo 2

Na letra A podemos iniciar derivando a função

r t = 2 t ,   e t , e - t

Note que derivamos termo a termo, assim:

r ' t = 2 ,   e t , - e - t

Passo 3

O vetor tangente unitário pode ser calculada a partir da equação T t = r ' ( t ) | r ' t | , para isso, temos que calcular separadamente os termos r ' t (já foi calculada no Passo 2 ) e r ' t .

Calculando r ' t

r ' ( t ) = ( 2 ) 2 +   e t 2 + - e - t 2

Isso nos da que:

r ' ( t ) = 2 + e 2 t + e - 2 t

r ' t = e t + e - t 2

r ' t = e t + e - t

Passo 4

Agora podemos substituir os termos na equação do vetor tangente.

T t = r ' t r ' t

T t = 1 e t + e - t 2 ,   e t , - e - t

Multiplicando por e t e t :

T t = 1 e 2 t + 1 2 e t ,   e 2 t , - 1

Passo 5

Temos que obter T ' ( t ) .

T ' t = 1 e 2 t + 1 2 e t ,   2 e 2 t , 0 - 2 e 2 t e 2 t + 1 2 2 ,   e 2 t , - 1

T ' t = 1 e 2 t + 1 2 e 2 t + 1 2 e t ,   2 e 2 t , 0 - 2 e 2 t 2 e t ,   e 2 t , - 1

T ' t = 1 e 2 t + 1 2 2 e t ( 1 - e 2 t ,   2 e 2 t , 2 e 2 t

Passo 6

Calculando o módulo

T ' t = 1 e 2 t + 1 2 2 e 2 t 1 - 2 e 2 t + e 4 t + 4 e 4 t + 4 e 4 t

T ' t = 1 e 2 t + 1 2 2 e 2 t 1 + 2 e 2 t + e 4 t

T ' t = 1 e 2 t + 1 2 2 e 2 t 1 + e 2 t 2

T ' t = 2 e t 1 + e 2 t e 2 t + 1 2

T ' t = 2 e t ( 1 + e 2 t )

Passo 7

E então, para calcularmos o vetor normal N ( t ) fazemos:

N t = T ' t T ' t

N t = e 2 t + 1 2 e t 1 e 2 t + 1 2 2 e t ( 1 - e 2 t ,   2 e 2 t , 2 e 2 t

N t = 1 2 e t e 2 t + 1 2 e t 1 - e 2 t ,   2 e 2 t , 2 e 2 t

N t = 1 e 2 t + 1   1 - e 2 t ,   2 e 2 t , 2 e 2 t

Passo 8

Na letra B, finalizamos utilizado a fórmula:

k t = T ' t r ' t

Substituindo os termos

k t = 2 e t e 2 t + 1 ⋅ 1 e t + e - t

k t = 2 e t e 3 t + 2 e t + e - t

Simplificando

k t = 2 e 2 t e 4 t + 2 e 2 t + 1

k t = 2 e 2 t e 2 t + 1 2

Resposta

a) T t = 1 e 2 t + 1 2 e t ,   e 2 t , - 1 e N t = 1 e 2 t + 1   1 - e 2 t ,   2 e 2 t , 2 e 2 t

b) k t = 2 e 2 t e 2 t + 1 2

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