Faça uma correspondência entre as equações paramétricas e os gráficos (identificados com números de I-VI). Justifique sua escolha.

x = cos(t), y = sen(t), z = cos(2t)

Passo 1

Fala ai galera! Tranquilo?

Para começarmos esta questão vamos verificar qual curva é formada pelas equações paramétricas dadas no enunciado. Precisamos observar individualmente cada uma das coordenadas e como elas variam com o parâmetro t .

Vamos começar!

Passo 2

Vamos analisar as equações.

x ( t ) = c o s ( t ) : Descreve uma oscilação entre - 1 e 1 no eixo x à medida que t varia.

y ( t ) = s e n ( t ) : Descreve uma oscilação entre - 1 e 1 no eixo y à medida que t varia.

z ( t ) = c o s ( 2 t ) :   Descreve uma oscilação entre - 1 e 1 no eixo z à medida que t varia, mas com uma frequência dobrada em comparação com x ( t ) e y ( t ) .

Passo 3

Vamos analisar as equações em relação a cada uma das curvas.

A equação x ( t ) = c o s ( t ) está associada aos gráficos I , I I I e V , pois descreve uma oscilação entre - 1 e 1 no eixo x .

A equação y ( t ) = s e n ( t )   está associada aos gráficos I , I I I e V , pois descreve uma oscilação entre - 1 e 1 no eixo y .

A equação z ( t ) = c o s ( 2 t ) está associada aos gráficos I I , I V e V I , pois descreve uma oscilação entre - 1 e 1 no eixo z , com uma frequência dobrada em comparação com x ( t ) e y ( t ) .

Passo 4

Temos então, O GRAN FINALE!

A curva formada pelas equações paramétricas é uma espiral helicoidal que oscila periodicamente em torno do eixo z , enquanto se aproxima ou se afasta do plano x y , dependendo do sentido da espiral. Essa espiral helicoidal se estende infinitamente no espaço tridimensional.

Podemos então interpretar as equações sendo representados pela curva de número I I I .

Resposta

O gráfico deve ser o I.

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