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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 13.1 - Ex. 24

Faça uma correspondência entre as equações paramétricas e os gráficos (identificados com números de I-VI). Justifique sua escolha.

x = cos ⁡ t   ,     y = s e n t ,     z = c o s 2 t

Passo 1

Fala ai galera! Tranquilo?

Para começarmos esta questão vamos verificar qual curva é formada pelas equações paramétricas dadas no enunciado. Precisamos observar individualmente cada uma das coordenadas e como elas variam com o parâmetro t .

Vamos começar!

Passo 2

Vamos analisar as equações.

x ( t ) = c o s ( t ) : Descreve uma oscilação entre - 1 e 1 no eixo x à medida que t varia.

y ( t ) = s e n ( t ) : Descreve uma oscilação entre - 1 e 1 no eixo y à medida que t varia.

z ( t ) = c o s ( 2 t ) :   Descreve uma oscilação entre - 1 e 1 no eixo z à medida que t varia, mas com uma frequência dobrada em comparação com x ( t ) e y ( t ) .

Passo 3

Vamos analisar as equações em relação a cada uma das curvas.

A equação x ( t ) = c o s ( t ) está associada aos gráficos I , I I I e V , pois descreve uma oscilação entre - 1 e 1 no eixo x .

A equação y ( t ) = s e n ( t )   está associada aos gráficos I , I I I e V , pois descreve uma oscilação entre - 1 e 1 no eixo y .

A equação z ( t ) = c o s ( 2 t ) está associada aos gráficos I I , I V e V I , pois descreve uma oscilação entre - 1 e 1 no eixo z , com uma frequência dobrada em comparação com x ( t ) e y ( t ) .

Passo 4

Temos então, O GRAN FINALE!

A curva formada pelas equações paramétricas é uma espiral helicoidal que oscila periodicamente em torno do eixo z , enquanto se aproxima ou se afasta do plano x y , dependendo do sentido da espiral. Essa espiral helicoidal se estende infinitamente no espaço tridimensional.

Podemos então interpretar as equações sendo representados pela curva de número I I I .

Resposta

O gráfico deve ser o I.

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Encontre o comprimento da curva com precisão de quatro casas decimais.(Use sua calculadora para aproximar a integral.) r t = s e nt , cos ⁡ t ,t gt , 0 ≤ t ≤ π / 4
Reparametrize a curva com relação ao comprimento de arco medido a partir do ponto onde t = 0 na direção crescente de t . r t = 2 ti + 1 - 3 t j + 5 + 4 t k
Suponha que você comece no ponto (0, 0, 3) e se mova 5 unidades ao longo da curva x = 3 s e n t , y = 4 t , z = 3 cos ⁡ t na direção positiva. Onde você está agora?
Trace a curva com equações paramétricas x = s e nt , y = s e n2 t , z = s e n3 t . Encontre o comprimento total desta curva com precisão de quatro casas decimais.
Seja C a curva de intersecção do cilindro parabólico x 2 = 2 y e da superfície 3 z = x y . Encontre o comprimento exato de C da origem até o ponto (6, 18, 36).