Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro t cresce.

r(t) = t^2 * i + t * j + 2 * k

Passo 1

Fala ai pessoal! Tranquilo? Vamos começar esta questão entendo como iremos resolve-la.

A equação vetorial r ( t ) = t 2 i + t j + 2 k descreve uma curva no espaço tridimensional. Cada componente da equação representa uma coordenada da curva ao longo do eixo x , y e z , respectivamente.

E para esboçar o gráfico temos que apenas analisar a equação. Fácil néh!?

Então mãos a obra 😊

Passo 2

Já sabe o que vamos fazer , não é? ANALISAR!

x ( t ) = t ² representa a coordenada x , que varia quadraticamente com t . Isso sugere que a curva se estende ao longo do eixo x de forma parabólica.

y ( t ) = t representa a coordenada y , que varia linearmente com t . Isso sugere que a curva se estende ao longo do eixo y de forma linear.

z ( t ) = 2 representa a coordenada z , que é constante. Isso sugere que a curva está fixa ao longo do eixo z .

Passo 3

E o que isso influencia no gráfico? Vamos pensar um pouco.

A coordenada x varia de acordo com a função quadrática x ( t ) = t ² . Isso significa que a curva se estenderá ao longo do eixo x de forma parabólica.

A coordenada y varia de acordo com a função linear y ( t ) = t . Isso significa que a curva se estenderá ao longo do eixo y de forma linear.

A coordenada z é constante em z ( t ) = 2 . Isso significa que a curva está fixa ao longo do eixo z .

Passo 4

E a direção como fica?

Para determinar a direção na qual o parâmetro t cresce, temos que observar a ordem em que os pontos da curva são percorridos. Como t aumenta, a coordenada y aumenta linearmente, enquanto as coordenadas x e z também aumentam de acordo com suas respectivas funções.

Portanto, a direção na qual t cresce é indicada pela direção na qual os pontos da curva se movem.

A curva é representada da seguinte forma.

Resposta

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