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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.1 - Ex. 45

Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela interseção das duas superfícies.

z = x 2 - y 2

x 2 + y 2 = 1

Passo 1

Olá, meu querido. Vou te ajudar a resolver essa atividade.

A gente tem as duas curvas:

z = x 2 - y 2

E

x 2 + y 2 = 1

O que a gente vai fazer aqui é unir as duas equações em uma só, isso é o que é feito em uma intersecção. Depois que tivermos em mão uma equação que represente ambas, aí sim iremos cuidar da função vetorial.

A gente sabe que uma parametrização para um círculo de raio r centrado na origem é dada por:

x = r sin ⁡ t

y = r cos ⁡ t

E o sendo a equação do círculo:

x 2 + y 2 = r 2

Nós poderemos utilizar essa parametrização aqui, e encontrarmos uma equação vetorial para representar essa interseção com um mesmo parâmetro t .

Passo 2

Então a gente vai utilizar da parametrização que comentamos, na interse��ão entre essas figuras. Primeiro iremos parametrizar a nossa circunferência:

x = cos ⁡ t

y = sin ⁡ t

Agora iremos substituir essa parametrização na nossa segunda curva:

z = x 2 - y 2

z = sin ⁡ t 2 - cos ⁡ t 2

z = sin 2 ⁡ t - cos 2 ⁡ t

Isso lembra uma identidade trigonométrica:

cos ⁡ 2 t = cos 2 ⁡ t - sin 2 ⁡ t

Então a gente tem:

z = - cos ⁡ 2 t

Então o nosso vetor é:

r t = < sin ⁡ t , cos ⁡ t ,   - cos ⁡ 2 t >

Resposta

A função vetorial pedida é:

r t = < sin ⁡ t , cos ⁡ t ,   - cos ⁡ 2 t >

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Reparametrize a curva r t = 2 t 2 + 1 - 1 i + 2 t t 2 + 1 j Em relação ao comprimento do arco medido a partir do ponto (1, 0) na direção crescente de t . Expresse a reparametrização em sua forma mais
Use a Fórmula 11 para encontrar a curvatura. y = cos ⁡ x