Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 13.3 - Ex. 15
(a) Determine os vetores tangente e normal unitários e
(b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função vetorial:
Queremos determinar o vetor tangente e o normal
Mas como podemos calcular esses vetores???
Bom... o vetor tangente unitário é dado da seguinte forma:
E o vetor normal unitário é dado assim:
Depois disso, o enunciado quer que utilizemos a seguinte expressão para encontrar a curvatura :
Agora bora lá!! 😉
Passo 2
Primeiro passo é derivar a função:
Note que derivamos termo a termo, assim:
Passo 3
Agora que temos a derivada, precisamos calcular:
Isso implica que:
Passo 4
Então, aplicando na expressão do vetor tangente, temos:
A gente pode utilizar para ficar mais simples a nossa continha 😉
Agora precisamos da derivada de para encontrarmos o vetor normal.
Passo 5
Agora vamos derivar utilizando a regra do quociente:
Aplicando as derivadas e simplificando o denominador, temos:
Realizando as multiplicações:
Simplificando, obtemos:
Agora vamos calcular o módulo!! 😉
Passo 6
Aplicando o módulo, obtemos:
Colocando todos os termos sob o mesmo denominador:
Passo 7
Assim, aplicando na expressão do vetor normal, temos:
Passo 8
Por fim, aplicando na expressão do da curvatura, temos: