Enunciado

Determine o volume do sólido que está contido em ambas as esferas

x 2 + y 2 + z 2 + 4 x - 2 y + 4 z + 5 = 0

E

x 2 + y 2 + z 2 = 4

Passo 1

Bom, vamos começar ajeitando a equação da primeira esfera:

( x 2 + 4 x ) + y 2 - 2 y + ( z 2 + 4 z ) + 5 = 0

( x 2 + 4 x + 4 - 4 ) + y 2 - 2 y + 1 - 1 + ( z 2 + 4 z + 4 - 4 ) + 5 = 0

( x 2 + 4 x + 4 ) - 4 + Y 2 - 2 Y + 1 - 1 + ( z 2 + 4 z + 4 ) - 4 + 5 = 0

x + 2 2 + y - 1 2 + z + 2 2 = 4

Agora fica mais fácil percebermos que essa é uma esfera de raio r = 2 e centro C = ( - 2,1 , - 2 ) .

Passo 2

Agora, para encontrar o volume que precisamos, vamos usar a seguinte fórmula:

V = π 12 4 R + d 2 R - d 2

Onde d é a distância entre os centros das duas esferas. E R o raio delas, que vale 2 para as duas.

Certo, então vamos encontrar d :

d = - 2 2 + 1 2 + - 2 2 = 4 + 1 + 4 = 9 = 3

Substituindo d = 3 e R = 2 , ficamos com:

V = π 12 4.2 + 3 2.2 - 3 2 ≈ 2,88

Resposta

V ≈ 2,88

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