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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.1 - Ex. 48

Determine o volume do sólido obtido com a rotação de cada região em torno do eixo y . A região é a região, no primeiro quadrante, limitada à esquerda pelo círculo x 2 + y 2 = 3 , à direita pela reta x = 3 e acima pela reta y = 3 .

Passo 1

Temos que obter o volume de um sólido de revolução formado pela rotação de uma região em torno do eixo y . Aprendemos nesta seção que, para este caso, que corresponde ao método do anel, temos que calcular a seguinte integral:

V = ∫ c d A y d y = ∫ c d π R y 2 - r y 2 d y

Em que c e d são os limites de integração as funções R ( y ) e r ( y ) correspondem aos raios externo e interno, respectivamente. Portanto, a maior dificuldade desta questão é definir corretamente quem são essas funções R ( y ) e r ( y ) . Para isto, vamos esboçar a região para melhorar a visualização.

Passo 2

Vamos começar por esboçar a nossa região limitada pelas curvas.

Em destaque temos a região limitada pelas curvas. Temos que descobrir agora quem são essas funções que definem os raios externos e interno.

Passo 3

Vamos começar determinando a curva R ( y ) . Ela é a reta que limita nossa região à direita. Segundo o enunciado da própria questão, ela é:

x = R y = 3

Já para a curva r ( y ) , a qual está relacionada ao nosso círculo, basta isolar a incógnita x na equação. Desta forma, temos:

x 2 + y 2 = 3

x 2 = 3 - y 2

x = ± 3 - y 2

Como queremos analisar o semieixo x positivo, a nossa função é dada por r y = 3 - y 2 .

Passo 4

Finalmente estamos quase acabando. O pior já passou! Para que possamos substituir quem é R ( y ) e r ( y ) lá na equação do Passo 1 que define o volume do nosso sólido, nós só precisamos determinar mais um detalhe: quem são os limites de integração?

Fica claro quando analisamos o esboço feito no Passo 2. Basta responder a seguinte pergunta: qual o menor e o maior valor de y na nossa região? Eles são 0 e 3 , respectivamente. Agora sim, vamos calcular a nossa integral!

V = ∫ 0 3 π 3 2 - 3 - y 2 2 d y

V = ∫ 0 3 π 3 - 3 - y 2 d y

V = ∫ 0 3 π y 2 d y

V = π y 3 3 0 3 = π 3

V = π 3

Resposta

V = π 3

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Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares ( x , y ) tais que 1 ≤ x ≤ 3e0 ≤ y ≤ x
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares ( x , y ) tais queb) 1 2 ≤ x ≤ 2e0 ≤ y ≤ 1 x 2
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares ( x , y ) tais quee) y ≥ 0 ,1 ≤ x ≤ 2ex 2 - y 2 ≥ 1 .
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares ( x , y ) tais queh) 0 ≤ y ≤ xex 2 + y 2 ≤ 2 .
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares ( x , y ) tais quef) 0 ≤ x ≤ 1ex ≤ y ≤ 3 .