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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.1 - Ex. 57

  1. Uma tigela hemisférica de raio a contém água a uma profundidade h . Determine o volume de água da tigela.
  2. Taxas relacionadas. Água cai em um aquário hemisférico de raio 5 metros a uma taxa de 0,2 m 3 / s   . A que o nível no aquário aumentará quando a água alcançar 4 metros de profundidade?

Passo 1

Para calcular o volume de água da tigela faremos

V = ∫ - a h - a π f y 2 d y

Como é tigela é hemisférica com raio a , então teremos f x = a 2 - y 2 . Com isso,

V = ∫ - a h - a π a 2 - y 2 2 d y = ∫ - a h - a π a 2 - y 2 d y = π a 2 y - y 3 3 ​ - a h - a  

V = π a 2 h - a - h - a 3 3 - a 2 - a - - a 3 3

V = π a 2 h - a 3 - h - a 3 3 - - a 3 + a 3 3

V = π a 2 h - h - a 3 3 - a 3 3 = π 3 a 2 h - h - a 3 - a 3 3

V = π 3 a 2 h - h 3 - 3 h 2 a + 3 h a 2 - a 3 - a 3 3

V = π 3 a 2 h - h 3 - 3 h 2 a + 3 h a 2 3

V = π ( - h 3 + 3 a h 2 ) 3

Passo 2

Desejamos determinar a variação do volume em relação ao tempo , ou seja, d V d h isso significa que teremos que derivar o volume encontrado no item anterior, só que agora em relação à h ,   porém temos que lembrar que h depende de t . Dessa maneira derivaremos implicitamente, ou seja,

Lembrando que a = 5 temos

V t = π ( - h 3 + 3 ( 5 ) h 2 ) 3 = π ( - h 3 + 15 h 2 ) 3 = π - h 3 3 + 5 h 2

V ' t = π - 3 h 2 h ' ( t ) 3 + 10 h h ' ( t ) = π - h 2 . h ' t + 10 h . h ' ( t )

Evidenciando h ' ( t ) teremos

h ' t = V ' t π 10 h - h 2

Como sabemos que V ' t = 0,2 e h = 4

h ' t = 0,2 π 40 - 16 = 2 10 4 π 10 - 4

h ' t = 2 10 1 4 π 10 - 4 = 1 10 1 2 π 10 - 4 = 1 20 π 6

h ' t = 1 120 π m / s

Resposta

Item a. π ( - h 3 + 3 a h 2 ) 3

Item b.   h ' t = 1 120 π m / s

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29. Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta x = - 4 , da região limitada por aquela reta e pela parábola x = 4 + 6 y - 2 y 2 .
30. Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x , da região limitada pela parábola y 2 = 4 x e pela reta y = x .
25. Ache o volume do sólido gerado se a região do Exercício 23 girar em torno da reta y = 1 .
31. Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta x = 4 , da região do Exercício 30.
33. Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta y = - 3 , da região limitada pelas parábolas y = x 2 e y = 1 + x - x 2 .