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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.1 - Ex. 35

Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas retas e curvas em torno do eixo y

x = 2 y + 1

x = 0

y = 0

y = 3

Passo 1

A curva que ele deu é:

x = 2 y + 1

Aqui estamos trabalhando com funções em y porque vamos rotacionar ao redor do eixo y .

Essa curva é mesmo estranha de ver com facilidade, mas ele disse que está limitada por y = 0 e y = 3 . Então esses são os intervalos da integral.

Para entendermos como é a região e qual vai ser a integral, vamos olhar um esboço dela:

A região é entre a curva verde e a azul. Com o y indo da reta laranja até a reta vermelha.

Entao a região vai de y = 0 até y = 3 . Onde o raio do disco vai ser a função verde, lembrando que estamos pegando uma função de y :

r y = 2 y + 1

O volume vai ser:

V = ∫ 0 3 π 2 y + 1 2 d y

Como temos y de 0 até 3 no intervalo da integral, aquela raiz ao quadrado pode cortar com o quadrado sem precisar colocar o módulo depois. Isso porque y + 1 é positivo nesse intervalo de integração:

y + 1 2 = y + 1

V = ∫ 0 3 π 4 y + 1 d y

Passo 2

Vamos resolver essa integral:

V = ∫ 0 3 4 π y + 1 d y

V = 4 π ∫ 0 3 1 y + 1 d y

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ 1 y + 1 d y

Pra resolver essa integral, vamos fazer a seguinte substituição:

y + 1 = a → d y = d a

A nossa integral vai ficar:

∫ 1 y + 1 d y = ∫ 1 a d a

Resolvendo a integral em a

∫ 1 a d a = ln ⁡ a + C

Voltando para y :

= ln ⁡ a + C = ln ⁡ y + 1 + C

Passo 3

Voltando para a nossa integral definida:

V = 4 π ∫ 0 3 1 y + 1 d y = 4 π ln ⁡ y + 1 0 3 =

4 π ln ⁡ 3 + 1 - 4 π ln ⁡ 0 + 1 =

4 π ln ⁡ 4 - 0 =

4 π ln ⁡ 4

Resposta

4 π ln ⁡ 4

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Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = 2 x , y = 0 e pelas retas x = 1 em torno Da reta x = 1 .Da reta x = 2 .
Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .