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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.1 - Ex. 42

Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas retas e curvas em torno do eixo x

y = 4 - x 2

y = 2 - x

Passo 1

As curvas que ele deu são:

y = 4 - x 2

y = 2 - x

Para entendermos como é a região e qual vai ser a integral, vamos olhar um esboço dela:

A região é entre a curva verde e a laranja, ao redor do eixo x .

Essa região é aquela entre duas curvas, então temos que usar o método dos anéis. Qua basicamente é separar em dois volumes, o da curva laranja e o da curva verde.

Vamos ter então que o volume vai ser:

V = V 1 - V 2

Onde

V 1 → c u r v a   v e r d e

V 2 → c u r v a   l a r a n j a

Isso porque a curva laranja está abaixo da verde.

Agora, precisamos achar o intervalo de integração. Para isso, temos que achar a interseção das curvas:

4 - x 2 = 2 - x

x 2 - x - 2 = 0

Aplicando Bhaskaras:

x = - - 1 ± - 1 2 - 4 1 - 2 2.1

x = 1 ± 1 + 8 2

x = 1 ± 9 2

x = 1 ± 3 2

Chegamos em:

x = 2

e

x = - 1

Entao a região vai de x = - 1 até x = 2 . Onde os raios dos discos, que formam o anel, vão ser:

r 1 x = 2 - x

r 2 x = 4 - x 2

Cada volume vai ser:

V 1 = ∫ - 1 2 π 4 - x 2 2 d x

V 1 = ∫ - 1 2 π 16 - 8 x 2 + x 4 d x

E

V 2 = ∫ - 1 2 π 2 - x 2 d x

V 2 = ∫ - 1 2 π 4 - 4 x + x 2 d x

Com:

V = V 1 - V 2

Passo 2

Vamos achar V 2 :

V 2 = ∫ - 1 2 π 4 - 4 x + x 2 d x

V 2 = π ∫ - 1 2 4 - 4 x + x 2 d x

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ 4 - 4 x + x 2 d x = 4 x - 4 x 2 2 + x 3 3 + C = x 3 3 - 2 x 2 + 4 x + C

Passo 3

Voltando para a nossa integral definida:

V 2 = π ∫ - 1 2 4 - 4 x + x 2 d x = π x 3 3 - 2 x 2 + 4 x - 1 2 =

π 2 3 3 - 2 2 2 + 4 2 - π - 1 3 3 - 2 - 1 2 + 4 - 1 =

π 8 3 - 8 + 8 - π - 1 3 - 2 - 4 =

π 8 3 - π - 1 3 - 6 =

π 8 3 - π - 1 - 6.3 3 =

8 π 3 - - 19 π 3 =

8 π 3 + 19 π 3 =

2 7 π 3 =

V 2 = 9 π

Passo 4

Vamos achar V 1 :

V 1 = ∫ - 1 2 π 16 - 8 x 2 + x 4 d x

V 1 = π ∫ - 1 2 16 - 8 x 2 + x 4 d x

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ 16 - 8 x 2 + x 4 d x = 16 x - 8 x 3 3 + x 5 5 + C

Passo 5

Voltando para a nossa integral definida:

V 1 = π ∫ - 1 2 16 - 8 x 2 + x 4 d x = π 16 x - 8 x 3 3 + x 5 5 - 1 2 =

π 16 2 - 8 2 3 3 + 2 5 5 - π 16 - 1 - 8 - 1 3 3 + - 1 5 5 =

π 32 - 64 3 + 32 5 - π - 16 + 8 3 - 1 5 =

π 32.15 - 64.5 + 32.3 15 - π - 16.15 + 8.5 - 1.3 15 =

π 480 - 320 + 96 15 - π - 240 + 40 - 3 15 =

256 π 15 - - 203 π 15 =

256 π 15 + 203 π 15 =

V 1 = 459 π 15

V 1 = 153 π 5

Passo 6

Agora vamos para o V

V = V 1 - V 2

V = 153 π 5 - 9 π

V = π 153 - 9 . 5 5

V = 108 π 5

Resposta

108 π 5

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