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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.1 - Ex. 49

Determine o volume do sólido obtido com a rotação de cada região em torno do eixo dado. A região é a região, no primeiro quadrante, limitada acima pela curva y = x 2 , abaixo pelo eixo x e à direita pela reta x = 1 em torno da reta x = - 1 .

Passo 1

Temos que obter o volume de um sólido de revolução formado pela rotação de uma região em torno de uma reta paralela ao eixo y . Este caso também é semelhante ao cálculo de volume obtido pela rotação de uma curva em torno do eixo y . A integral que devemos calcular continua sendo a que aprendemos nesta seção. Isto é:

V = ∫ c d A y d y = ∫ c d π R y 2 - r y 2 d y

Entretanto, nós só precisamos fazer uma adaptação. Muito cuidado nessa hora!!! Os raios externos e internos R y e r y devem ser dados em relação ao nosso novo eixo, o qual neste caso é x = - 1

Passo 2

Vamos começar por esboçar a nossa região limitada pelas curvas.

Em destaque temos a região limitada pelas curvas. Temos que descobrir agora quem são essas funções que definem os raios externos e interno.

Passo 3

Inicialmente, iremos determinar as curvas em relação ao nosso eixo y . Posteriormente, faremos uma translação horizontal da função. Começando pela curva R ( y ) , ela é a reta que limita nossa região à direita. Segundo o enunciado da própria questão, ela é:

x = R y = 1

Já para a curva r ( y ) , a qual está relacionada a nossa parábola, basta isolar a incógnita x na equação. Desta forma, temos:

y = x 2

x = ± y

Como queremos analisar o semieixo x positivo, a nossa função é dada por r y = y .

Passo 4

Agora, temos que escrever as curvas R ( y ) e r ( y ) em relação ao nosso eixo de rotação, a reta x = - 1 . Para isto, basta verificar que o eixo y corresponde a reta x = - 1 transladada para a direita em uma unidade. Portanto, precisamos transladar as nossas curvas R ( y ) e r ( y ) para a direita em uma unidade. Desta forma, vamos obter as seguintes funções

R t y = R y + 1 = 2

r t y = r y + 1 = y + 1

Passo 5

Agora já obtivemos as curvas em relação ao eixo x = - 1 , nos falta apenas determinar os limites de integração. Para isto, basta responder a seguinte pergunta: qual o menor e o maior valor de y na nossa região? Eles são 0 e 1, respectivamente. Agora sim, vamos calcular a nossa integral!

V = ∫ 0 1 π 2 2 - 1 + y 2 d y

V = ∫ 0 1 π 4 - 1 + 2 y + y d y

V = ∫ 0 1 π ( 3 - 2 y - y ) d y

V = π 3 y - 4 y 3 2 3 - y 2 2 0 1 = π 3 - 4 3 - 1 2

V = 7 π 6

Resposta

V = 7 π 6

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Ache o volume do solido de revolução descrito quando a região dada da figura for rotacionada em torno da reta indicada.Uma equação da curva na figura é y 2 = x 3 O B C em torno da reta A C
Ache o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno da reta indicada, da região limitada pela curva y = x , pelo eixo x e pela reta x = 4 Ao redor do eixo x
Ache o volume do sólido de revolução geradp éça rotação, em torno da reta indicada, da região limitada pela curva y = x , pelo eixo x e pela reta 4 .O eixo y
Ache o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno da reta indicada, da região limitada pela curva y = x , pelo eixo x e pela reta x = 4 Ao redor da reta y = 2
Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva y = cosec ⁡ x , pelo eixo x , e pelas retas x = π 6 e x = π 3 em torno do eixo x .