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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.1 - Ex. 51c

Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno

  1. Do eixo x .
  2. Do eixo y .
  3. Da reta y = 2 .
  4. Da reta x = 4 .

Passo 1

Precisamos obter o volume de um sólido de revolução obtido através da rotação de uma região em relação aos eixos coordenados, x e y , e em relação a retas paralelas a eles. Para cada um dos casos, discutiremos um pouco a metodologia necessária para calculá-los. Entretanto, todos eles possuem uma necessidade em comum: esboçar a região limitada! Começaremos por entender como é esta região.

Passo 2

Vamos começar por esboçar a nossa região limitada pelas curvas.

Em destaque temos a região limitada pelas curvas e em vermelho o nosso eixo de rotação. Como queremos obter a rotação em torno da reta y = 2 , uma reta paralela ao eixo x , utilizaremos o método dos discos. Este método nos diz que o volume do sólido é dado pela seguinte integral:

V = ∫ a b A x d x = ∫ a b π R x 2   d x

Em que R ( x ) é a função que define o raio dos discos transversais ao eixo de rotação. Vamos repetir a nossa figura da região para deixar claro quem é essa curva!

Agora fica claro quem é a nossa função! Em relação ao nosso sistema de coordenadas inicial, ela é

R x = x

Passo 3

Podemos partir logo para a integração agora que determinamos as curvas? A resposta é simples e clara: não!! Calma, não sejamos apressados!

A função R ( x ) que obtivemos está escrita em relação ao nosso sistema de coordenadas original: origem, eixo x e eixo y . Precisamos escrever esta curva em relação ao nosso eixo de rotação. Para isto, é necessário fazer uma translação vertical. Como o eixo x corresponde à reta y = 2 transladada para baixo em 2 unidades, a nossa função deve ser transladada para baixo em 2 unidades também! Portanto, temos:

R t x = R x - 2 = x - 2

Passo 4

Agora sim! Obtivemos as curvas em relação a nossa reta de rotação e só nos falta determinar os limites de integração. Para isto, basta responder a seguinte pergunta: qual o menor e o maior valor de y na nossa região? Eles são 0 e 4, respectivamente. Agora sim, vamos calcular a nossa integral!

V = ∫ 0 4 π x - 2 2 d x

V = ∫ 0 4 π x - 4 x + 4 d y

V = π x 2 2 - 8 x 3 2 3 + 4 x 0 4 = π 8 - 64 3 + 16

V = 8 π 3

Resposta

V = 8 π 3

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Ache o volume do solido gerado por rotação, em torno do eixo x da região limitada pela curva y = s e n x , a reta x= 1 2 π e eixo x.
Ache o volume do solido gerado por rotação, em torno do eixo y da região limitada pela curva x = y ² ² e x = y 4 , no primeiro quadrante
Ache o volume do solido gerado por rotação, em torno do eixo x da região limitada pela curva y = x c o s e c x , a reta x= 1 2 π , x= 1 4 π e eixo x.
Ache o volume do solido gerado por rotação, em torno do eixo y da região limitada pela curva x = c o s y , a reta y = 1 6 π e eixo y
Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva y = sec 2 ⁡ x , pelos eixo𝑠 e pelas reta x = 1 4 π em torno do eixo x .