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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.1 - Ex. 41

Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas retas e curvas em torno do eixo x

y = x 2 + 1

y = x + 3

Passo 1

As curvas que ele deu são:

y = x 2 + 1

y = x + 3

Para entendermos como é a região e qual vai ser a integral, vamos olhar um esboço dela:

A região é entre a curva verde e a laranja, ao redor do eixo x .

Essa região é aquela entre duas curvas, então temos que usar o método dos anéis. Qua basicamente é separar em dois volumes, o da curva laranja e o da curva verde.

Vamos ter então que o volume vai ser:

V = V 1 - V 2

Onde

V 1 → c u r v a   l a r a n j a

V 2 → c u r v a   v e r d e

Isso porque a curva laranja está acima da verde.

Agora, precisamos achar o intervalo de integração. Para isso, temos que achar a interseção das curvas:

x 2 + 1 = x + 3

x 2 - x - 2 = 0

Aplicando Bhaskaras:

x = - - 1 ± - 1 2 - 4 1 - 2 2.1

x = 1 ± 1 + 8 2

x = 1 ± 9 2

x = 1 ± 3 2

Chegamos em:

x = 2

e

x = - 1

Entao a região vai de x = - 1 até x = 2 . Onde os raios dos discos, que formam o anel, vão ser:

r 1 x = x + 3

r 2 x = x 2 + 1

Cada volume vai ser:

V 1 = ∫ - 1 2 π x + 3 2 d x

V 1 = ∫ - 1 2 π x 2 + 6 x + 9 d x

E

V 2 = ∫ - 1 2 π x 2 + 1 2 d x

V 2 = ∫ - 1 2 π x 4 + 2 x 2 + 1 d x

Com:

V = V 1 - V 2

Passo 2

Vamos achar V 1 :

V 1 = ∫ - 1 2 π x 2 + 6 x + 9 d x

V 1 = π ∫ - 1 2 x 2 + 6 x + 9 d x

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ x 2 + 6 x + 9 d x = x 3 3 + 6 x 2 2 + 9 x + C = x 3 3 + 3 x 2 + 9 x + C

Passo 3

Voltando para a nossa integral definida:

V 1 = π ∫ - 1 2 x 2 + 6 x + 9 d x = π x 3 3 + 3 x 2 + 9 x - 1 2 =

π 2 3 3 + 3 2 2 + 9 2 - π - 1 3 3 + 3 - 1 2 + 9 - 1 =

π 8 3 + 12 + 18 - π - 1 3 + 3 - 9 =

π 8 3 + 30 - π - 1 3 - 6 =

π 8 + 90 3 - π - 1 - 6.3 3 =

98 π 3 - - 1 9 π 3 =

98 π 3 + 1 9 π 3 =

117 π 3 =

V 1 = 3 9 π

Passo 4

Vamos achar V 2 :

V 2 = ∫ - 1 2 π x 4 + 2 x 2 + 1 d x

V 2 = π ∫ - 1 2 x 4 + 2 x 2 + 1 d x

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ x 4 + 2 x 2 + 1 d x = x 5 5 + 2 x 3 3 + x + C

Passo 5

Voltando para a nossa integral definida:

V 2 = π ∫ - 1 2 x 4 + 2 x 2 + 1 d x = π x 5 5 + 2 x 3 3 + x - 1 2 =

π 2 5 5 + 2 2 3 3 + 2 - π - 1 5 5 + 2 - 1 3 3 + - 1 =

π 32 5 + 16 3 + 2 - π - 1 5 - 2 3 - 1 =

π 32.3 + 16.5 + 2.15 15 - π - 1.3 - 2.5 - 1.15 15 =

π 96 + 80 + 30 15 - π - 3 - 10 - 15 15 =

206 π 15 - - 28 π 15 =

206 π 15 + 28 π 15 =

V 2 = 234 π 15

V 2 = 78 π 5

Passo 6

Agora vamos para o V

V = V 1 - V 2

V = 3 9 π - 78 π 5

V = π 195 - 78 5

V = 117 π 5

Resposta

117 π 5

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