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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.1 - Ex. 45

Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões sombreadas em torno do eixo y

A região limitada pelo triângulo com vértices em 1,0 , 2,1 e 1,1 .

Passo 1

Vamos começar olhando como é o esbço daquele triângulo:

A região é entre a reta A C e A B , ao redor do eixo y .

Essa região é aquela entre duas curvas, então temos que usar o método dos anéis. Qua basicamente é separar em dois volumes, o da curva preta e o da curva azul.

Vamos ter então que o volume vai ser:

V = V 1 - V 2

Onde

V 1 → a t é   r e t a   A B

V 2 → a t é   r e t a   A C

Isso porque reta A B está mais a diretia que a reta A C

Entao a região vai de y = 0 até y = 1 . Onde os raios dos discos, que formam o anel, vão ser, ih!!! Ele não deu a equação da reta A B . A reta A C vai ser x = 1 , mas precisamos da equação da outra.

Para isso vamos escrever

x = a y + b

E substituir os pontos A e B

1 = a 0 + b

2 = a 1 + b

Vamos ter:

b = 1

2 = a + b

Assim:

2 = a + 1

2 - 1 = 2 a

a = 1

E a reta fica:

x = y + 1

Passo 2

Os raios vão ficar então:

r 1 y = 1

r 2 y = y + 1

Cada volume vai ser:

V 1 = ∫ 0 1 π 1 2 d y

V 1 = ∫ 0 1 π d y

E

V 2 = ∫ 0 1 π y + 1 2 d y

V 2 = ∫ 0 1 π y 2 + 2 y + 1 d y

Com:

V = V 1 - V 2

Passo 3

Vamos achar V 2 :

V 2 = ∫ 0 1 π d y

V 2 = π ∫ 0 1 d y

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ d y = y + C

Passo 4

Voltando para a nossa integral definida:

V 2 = π ∫ 0 1 π y = π y 0 1 =

π 1 - π 0 =

V 2 = π

Passo 5

Vamos achar V 1 :

V 1 = ∫ 0 1 π y 2 + 2 y + 1 d y

V 1 = π ∫ 0 1 y 2 + 2 y + 1 d y

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ y 2 + 2 y + 1 d y = y 3 3 + 2 y 2 2 + y + C = y 3 3 + y 2 + y + C

Passo 6

Voltando para a nossa integral definida:

V 1 = π ∫ 0 1 y 2 + 2 y + 1 d y = π y 3 3 + y 2 + y 0 1 =

π 1 3 3 + 1 2 + 1 - π 0 3 3 + 0 2 + 0 =

π 1 3   + 1 + 1 =

π 1 + 2.3 3 =

π 7 3 =

V 1 = 7 π 3

Passo 7

Agora vamos para o V

V = V 1 - V 2

V = 7 π 3 - π

V = 7 π - 3 π 3

V = 4 π 3

Resposta

4 π 3

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