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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.1 - Ex. 64

R dada no Exercício 63 .Se o volume do solido formado pela revolução de R em torno do eixo x for 6 π e o volume do sólido formado pela revolução de R em torno da reta y = - 2 for 10 π , termine a área de R .

Passo 1

Inicialmente vamos analisar as informações que temos. Sendo assim, temos que volume do solido formado pela revolução de R em torno do eixo x for 6 π , ou seja,

V 1 = ∫ π f x 2 d x = 6 π

Por outro lado, sabemos que o volume do sólido formado pela revolução de R em torno da reta y = - 2 for 10 π . Isso significa que

V 2 = ∫ π f x + 2 2 d x = 10 π

Isso acontece devido a y = - 2 , temos que descer duas unidades no plano cartesiano,

Passo 2

Desejamos determinar a área de R . Para isso, façamos V 2 -   V 1 , sendo assim teremos,

V 2 -   V 1 = ∫ a b π f x + 2 2 d x - ∫ a b π f x 2 d x = 10 π - 6 π

⇒ ∫ a b f x + 2 2 - π f x 2 d x = 4 π

⇒ ∫ a b π ( f x 2 + 4 f ( x ) + 4 ) - π f x 2 d x = 4 π

⇒ π ∫ a b ( f x 2 +   4 f ( x ) + 4 ) - f x 2 d x = 4 π

⇒ π ∫ a b 4 f ( x ) + 4 d x = 4 π

⇒ 4 π ∫ a b f x + 1   d x = 4 π

⇒ ∫ a b f x + 1 d x = 1

⇒ ∫ a b f x d x + ∫ a b 1 d x = 1

⇒ ∫ a b f ( x ) d x + x ​ a b   = 1

⇒ ∫ a b f ( x ) d x = 1 - x ​ a b

⇒ ∫ a b f ( x ) d x = 1 - ( b - a )

⇒ ∫ a b f ( x ) d x = 1 - b + a

Como sabemos que a integral descrita dessa maneira representa a área então a área da região R é igual a 1 - b + a

Resposta

∫ a b f ( x ) d x = 1 - b + a

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