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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.1 - Ex. 63

R limitada pelos gráficos de y = f x > 0 , x = a > 0 , x = b > a e   y = 0 . Se o volume do solido formado pela revolução de R em torno do eixo x for 4 π e o volume do sólido formado pela revolução de R em torno da reta y = - 1 for 8 π , termine a área de R .

Passo 1

Inicialmente vamos analisar as informações que temos. Sendo assim, temos que volume do solido formado pela revolução de R em torno do eixo x for 4 π , ou seja,

V 1 = ∫ a b π f x 2 d x = 4 π

Por outro lado, sabemos que o volume do sólido formado pela revolução de R em torno da reta y = - 1 for 8 π . Isso significa que

V 2 = ∫ a b π f x + 1 2 d x = 8 π

y = - 1 , temos que descer uma unidade no plano cartesiano,

Passo 2

Desejamos determinar a área de R . Para isso, façamos V 2 -   V 1 , sendo assim teremos,

V 2 -   V 1 = ∫ a b π f x + 1 2 d x - ∫ a b π f x 2 d x = 8 π - 4 π

⇒ ∫ a b π f x + 1 2 - π f x 2 d x = 4 π

⇒ ∫ a b π ( f x 2 + 2 f ( x ) + 1 ) - π f x 2 d x = 4 π

⇒ π ∫ a b ( f x 2 +   2 f ( x ) + 1 ) - f x 2 d x = 4 π

⇒ ∫ a b 2 f ( x ) + 1 d x = 4

⇒ 2 ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b 1 d x = 4

⇒ 2 ∫ a b f ( x ) d x + x ​ a b   = 4

⇒ 2 ∫ a b f ( x ) d x = 4 - x ​ a b

⇒ ∫ a b f ( x ) d x = 4 - b + a 2

Como sabemos que a integral descrita dessa maneira representa a área então a área da região R é igual a 4 - b + a 2 .

Resposta

∫ a b f ( x ) d x = 4 - b + a 2

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