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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.1 - Ex. 56

Uma tigela tem um formato que pode ser obtido pela revolução em torno do eixo y , do gráfico de y = x 2 2 entre y = 0 e y = 5

  1. Determine o volume da tigela.
  2. Taxas relacionadas. Se enchermos a tigela com água a taxa constante de 3unidades cúbicas por segundo, a que taxa o nível da água na tigela aumentará quando a água estiver com 4 unidades de profundidade?

Passo 1

Perceba que a região que desejamos calcular o volume é da forma:

E de fato, quando rotacionarmos a região em torno do eixo y , teremos algo parecido com uma tigela, sendo assim para calcular o volume faremos

V = ∫ 0 5 π f y 2 d y

Mas para calcularmos em relação a y , precisamos manipular a expressão y = x 2 2 . Sendo assim teremos

y = x 2 2 ⇒ x = 2 y

Dessa maneira,

V = ∫ 0 5 π f y 2 d y = ∫ 0 5 π 2 y 2 d y = ∫ 0 5 π 2 y   d y

=   2 π ∫ 0 5 y   d y = 2 π     y 2 2 ​ 0 5 = π 5 2 - 0 2 = 25   π

Passo 2

Desejamos determinar a variação do volume em relação ao tempo , ou seja, d V d h isso significa que teremos que derivar o volume encontrado no item anterior, só que agora em relação à h ,   porém temos que lembrar que h depende de t . Dessa maneira derivaremos implicitamente, ou seja,

Lembrando que a = 5 temos

V t = 2 π     h 2 2 = 2 π 2 h .   h ' ( t ) 2 = 2 π h .   h ' ( t )

Utilizamos a expressão pois nesse casos y corresponde a altura, e neste caso varia com o passar do tempo

V ' ( t ) 2 π 2 h .   h ' ( t ) 2 = 2 π h .   h ' ( t )

Evidenciando h ' ( t ) teremos

h ' t = V ' t 2 π h

Como sabemos que V ' t = 3 e h = 4

h ' t = 3 2 π 4 = 3 8 π u n d 3 / s

Resposta

Item a. 25   π

Item b.   h ' t = 3 8 π u n d 3 / s

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