Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.4 - Ex. 33
33. Prove que a derivada de uma função par é ímpar e que a derivada de uma função ímpar é par.
Passo 1
Fala galera!!!
Para resolver essa questão, vamos supor como sendo uma função ímpar, ou seja, . Vamos supor também que é a derivada de , ou seja, . Então, pela definição da derivada, temos o seguinte:
Podemos dizer o seguinte:
Logo:
Como é uma função ímpar:
Agora, podemos fazer uma substituição de variável da seguinte maneira:
Então
e quando , temos que . Substituindo temos:
Como é uma função impar
Ou seja:
Que temo propriedades de uma função par. Portanto, a função que é par, é a derivada da função ímpar .
Passo 2
Em seguida, vamos supor como sendo uma função par, ou seja, . Vamos supor também que é a derivada de , ou seja, . Então, pela definição da derivada, temos o seguinte:
Podemos dizer o seguinte:
Logo:
Como é uma função par:
Agora, podemos fazer uma substituição de variável da seguinte maneira:
Então
e quando , temos que . Substituindo temos:
Como é uma função par
Ou seja:
Que temo propriedades de uma função ímpar. Portanto, a função que é ímpar, é a derivada da função par .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)