O diâmetro de uma esfera é medido como 100 ± 1 cm e o volume é calculado a partir dessa medição. Estime a porcentagem de erro no cálculo do volume.

Passo 1

Primeiramente, o volume de uma esfera é dado por: V = 4 π r 3 3 = 4 π D 2 3 3 ; em que D é o diâmetro.

A porcentagem de erro no cálculo de algum valor X é dado pelo quociente entre a variação do valor e o próprio valor. Traduzindo pra matemática: P e = d X x .

Isso porque o erro é dado pela variação d x e a porcentagem é feita em cima do valor inicial X. Mas para simplificar vamos usar a relação acima.

Assim, a porcentagem do erro de cálculo do volume é d V V ; a porcentagem de erro de cálculo do diâmetro é dada por: d D D .

Passo 2

Temos que a V = 4 π D 2 3 3 = π D 3 6 ;   d V = π D 2 d D 2 (derivamos as variáveis).

Substituindo na porcentagem de erro do volume então:

temos: d V V = π D 2 d D 2   π D 3 6 = 3 d D D =

Simplificando e substituindo os valores dados: D = 100   e   d D = 1 ...

d V V = 3 × 1 100 = 3 %

Temos que a porcentagem de erro do cálculo do volume da esfera é 3%.

Resposta

3%.

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