Nos Exercícios 1-14, determine o centro de massa de uma placa fina de densidade constante δ que abranja a região dada.

  1. A região limitada acima pela curva y = 1 / x 3 , abaixo pela curva - 1 / x 3 e a esquerda e a direita pelas retas x = 1 e x = a > 1 . Determine também lim a → ∞ ⁡ x - .

Passo 1

Como uma função é positiva e outra é negativa e ambas tem o domínio positivo então é certo que as duas são simétricas em y . Logo nosso y - é 0. E nosso intervalo vai de x para a. Plotando nossa gráfico devemos ter algo assim:

https://www.desmos.com/calculator/e8yn2zz8qk

Dê play em a na terceira linha e veja o que acontece

Passo 2

O comprimento da linha vertical é:

L = 2 x 3

Como a largura dessa linha é d x logo a sua área será:

d A = 2 x 3 d x

E consequentemente sua massa:

d m = δ 2 x 3 d x

E o x médio:

x m = x

Passo 3

Calculando M teremos:

M = ∫ 1 a δ 2 x 3 d x = 2 δ ∫ 1 a x - 3 d x = 2 δ x - 2 - 2 1 a = δ - 1 a 2 + 1 = δ a 2 - 1 a 2

Agora calculando M y :

M y = δ ∫ 0 a x 2 x 3 d x = 2 δ ∫ 0 a 1 x 2 d x = 2 δ - 1 x 1 a = 2 δ - 1 a + 1

O que nos dá:

M y = 2 δ a - 1 a

Passo 4

Logo nosso x - será:

x - = M y M = 2 δ a - 1 a × a 2 δ ( a 2 - 1 )

Simplificando:

x - = 2   a - 1 1 × a ( a + 1 ) ( a - 1 )

x - = 2 a a + 1

Passo 5

Aplicando o limite de a tendendo a infinito temos:

l i m a → ∞ 2 a a + 1 = ∞ ∞

Como deu indeterminação ∞ ∞ , podemos aplicar L’Hopital na função, o que nos dá:

lim a → ∞ ⁡ 2 1 = 2

Logo o limite de a tendendo a infinito me dá um x - = 2 .

Resposta

Centro de massa:

x - , y - = 2 a a + 1 , 0

lim a → ∞ ⁡ x - = 2

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