Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.6 - Ex. 14
Nos Exercícios 1-14, determine o centro de massa de uma placa fina de densidade constante que abranja a região dada.
- A região limitada acima pela curva , abaixo pela curva e a esquerda e a direita pelas retas e . Determine também .
Passo 1
Como uma função é positiva e outra é negativa e ambas tem o domínio positivo então é certo que as duas são simétricas em . Logo nosso é 0. E nosso intervalo vai de para a. Plotando nossa gráfico devemos ter algo assim:
https://www.desmos.com/calculator/e8yn2zz8qk
Dê play em a na terceira linha e veja o que acontece
Passo 2
O comprimento da linha vertical é:
Como a largura dessa linha é logo a sua área será:
E consequentemente sua massa:
E o médio:
Passo 3
Calculando teremos:
Agora calculando :
O que nos dá:
Passo 4
Logo nosso será:
Simplificando:
Passo 5
Aplicando o limite de tendendo a infinito temos:
Como deu indeterminação , podemos aplicar L’Hopital na função, o que nos dá:
Logo o limite de tendendo a infinito me dá um .
Resposta
Centro de massa: