Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.8 - Ex. 18
2 – 20. Diferencie a função.18.
Passo 1
Oieee, bora resolver essa junto comigo?
Vamos utilizar as seguintes regras de calculo 1, para resolver essa questão:
Regra da função composta (ou regra da cadeia):
Se temos uma função então a sua derivada em relação a é dada por:
Isso significa que você primeiro diferencia a função externa em relação à sua variável interna, , e então multiplica pela derivada da função interna em relação a
Regra do quociente (ou regra da derivada de uma função dividida por outra):
Se temos uma função , então a sua derivada em relação a é dada por:
Isso significa que você diferencia o numerador e o denominador separadamente, e então usa a fórmula para encontrar a derivada da divisão das duas funções.
Derivada da função logarítmica:
A derivada da função em relação a é:
Derivada da função raiz quadrada:
A derivada da função raiz quadrada em relação a é:
Passo 2
Nós temos uma função dentro da outra nesse exemplo, então devemos usar a regra da cadeia, ela diz que a derivada de uma função composta vai ser a derivada da função de fora, vezes a derivada da função de dentro:
A derivada de um logaritimo natural é igual a:
Mas no nosso caso o seria o , então:
Simplificando a expressão:
Passo 3
Agora precisamos calcular a outra derivada:
Essa também é uma função composta, então precisamos usar a regra da cadeia, mais uma vez. Nesse caso a função de fora é a raiz quadrada e a função de dentro é .
Então a derivada fica:
Passo 4
A derivada de uma raiz quadrada é:
Então
Simplificando a expressão:
Só falta a gente calcular essa derivada
E para isso só precisamos usar a regra da razão:
Passo 5
As derivadas que apareceram no numerador, são derivadas de polinômios simples:
Então a derivada daquela raiz fica:
Passo 6
Agora é só substituir as expressões encontradas na derivada da função do enunciado:
Simplificando essa expressão: