Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.8 - Ex. 43

35 – 46. Use a diferenciação logarítimica para achar a derivada de função.43. y = ln ⁡ x x

Passo 1

Para usar a diferenciação logaritimica a gente precisa primeiro ter um logaritimo. Então vamos aplicar o ln dos dois lado da equação:

ln ⁡ y = ln ⁡ ln ⁡ x x

Existe uma propriedade do log que diz que:

ln ⁡ x a = a ln ⁡ x

Então podemos reescrever a equação dessa forma:

ln ⁡ y = x ln ⁡ l n ⁡ x

Para derivar essa expressão precisamos usar a derivação implícita. Aplicando a derivada na equação:

d d x ln ⁡ y = d d x x ln ⁡ ln ⁡ x

Passo 2

Devemos usar a regra da cadeia para o termo da esquerda:

1 y ⋅ y ' = d d x x ln ⁡ l n ⁡ x

E a regra do produto para o termo da diretira:

y ' y = d d x x ⋅ ln ⁡ l n ⁡ x + d d x ln ⁡ ln ⁡ x ⋅ x

A segunda derivada que aparece na expressão, d d x ln ⁡ l n ⁡ x , precisa da regra da cadeia para resolver:

y ' y = 1 ⋅ ln ⁡ l n ⁡ x + ln ⁡ l n ⁡ x ' ⋅ d d x ( l n ⁡ x ) ⋅ x

y ' y = ln ⁡ l n ⁡ x + 1 l n ⁡ x ⋅ 1 x ⋅ x

Agora é só isolar y ' e substituir y pela expressão dada no enunciado:

y ' = y ⋅ ln ⁡ l n ⁡ x + 1 ln ⁡ x

Substituindo y na equação, temos a derivada que procurávamos:

y ' = l n ⁡ x x ⋅ ln ⁡ l n ⁡ x + 1 ln ⁡ x

Resposta

y ' = l n ⁡ x x ⋅ ln ⁡ l n ⁡ x + x tg ⁡ x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre d y // d x .y = x^2 log_2 ( 3 - 2 x )
Encontre d y // d x .y = ln sqrt(x)
Encontre d y // d x .y = ln | x^2 - 1 |
Encontre d y // d x .y = x [log_2 (x^2 - 2 x)]^3
Encontre d y // d x .y = ln |(1 + x)/(1 - x)|