Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 5.10 - Ex. 45
Um disco tem a forma do círculo . Supondo que a temperatura nos pontos do disco é dada por , determinar os pontos mais quentes e mais frios do disco.
Passo 1
Antes de analisarmos a fronteira do disco vamos analisar os pontos críticos em seu interior, jóia? Sendo assim, derivando parcialmente a função que nos foi dada e igualando-a a zero, teremos:
Igualando a zero:
Da primeira equação tiramos que e da segunda tiramos que , dessa forma, um ponto crítico no interior do disco é .
Passo 2
Agora vamos partir para a análise da fronteira, tudo bem? Sabendo que , temos que:
Derivando e igualando a zero, teremos:
Dessa forma, temos que , utilizando a relação . Portanto, encontramos mais pontos críticos, que são: . Por fim, analisando todos os pontos críticos que encontramos:
Sendo assim, podemos concluir que os pontos mais quentes do disco são e os pontos mais frios do mesmo é .
Resposta
Pontos mais quentes: ;
Ponto mais frio: .