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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.7 - Ex. 60

Considere a função ƒ(x, y) = x2 + y2 + 2xy – x – y + 1 sobre o

quadrado 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1.

a. Mostre que ƒ tem um mínimo absoluto ao longo do segmento de reta 2x + 2y = 1 nesse quadrado. Qual é o valor

mínimo absoluto?

b. Encontre o valor máximo absoluto de ƒ sobre o quadrado.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, consideraremos a função f ( x , y ) = x 2 + y 2 + 2 x y - x - y + 1 sobre o quadrado 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1 . Para isso,(a) mostre que f possui um valor absoluto mínimo ao longo do segmento de reta 2 x + 2 y = 1 neste quadrado sabendo o que é um valor absoluto mínimo;(b) Encontre o valor absoluto máximo de f no quadrado.Vamos lá?

Passo 2

(a)i. Em primeiro lugar, veja que, sobre x = 0 , temos: f ( x , y ) = f ( 0 , y ) = y 2 - y + 1 no intervalo 0 ≤ y ≤ 1 . A derivada vale:

f ' ( 0 , y ) = 2 y - 1 = 0

Resolvendo, encontramos que

y = 1 2   x = 0

Observe: o ponto f 0 , 1 2 = 3 4 é um ponto crítico no interior da região. Nos extremos da região, temos que f ( 0,0 ) = 1 , f ( 0,1 ) = 1 .

Passo 3

ii. Agora, sobre y = 1 , temos que f ( x , y ) = f ( x , 1 ) = x 2 + x + 1,0 ≤ x ≤ 1 . Fazendo a derivada igual a zero, temos:

f ' ( x , 1 ) = 2 x + 1 = 0

Resolvendo a equação, encontramos:

x = - 1 2 y = 1

Mas o ponto - 1 2 , 1 se encontra fora da região. Os extremos da região valem

f ( 0,1 ) = 1 , f ( 1,1 ) = 3 . 

Passo 4

iii. E sobre x = 1 , temos f ( x , y ) = f ( 1 , y ) = y 2 + y + 1,0 ≤ y ≤ 1 . Escrevendo sua derivada e igualando a zero, temos:

f ' ( 1 , y ) = 2 y + 1 = 0

Resolvendo a equação, temos

y = - 1 2 x = 1

Mas o ponto 1 , - 1 2 se encontra fora do intervalo. Os extremos do intervalo valem f ( 1,0 ) = 1 , f ( 1,1 ) = 3

Passo 5

iv. Sobre y = 0 , temos f ( x , y ) = f ( x , 0 ) = x 2 - x + 1,0 ≤ x ≤ 1 . Escrevendo sua derivada e igualando a zero, temos:

f ' ( x , 0 ) = 2 x - 1 = 0

Resolvendo a equação, chegamos a:

x = 1 2 y = 0

Que se encontra no intervalo. Seu valor é f 1 2 , 0 = 3 4 . Saiba que os extremos do intervalo valem f ( 0,0 ) = 1 , f ( 1,0 ) = 1 Para o interior do quadrado, temos:

f x ( x , y ) = 2 x + 2 y - 1 = 0 f y ( x , y ) = 2 y + 2 x - 1 = 0

Observando o Sistema, temos:

2 x + 2 y = 1   ( x + y ) = 1 2

Trabalhando a função f ( x , y ) = x 2 + y 2 + 2 x y - x - y + 1 , veremos que:

f ( x , y ) = x 2 + y 2 + 2 x y - x - y + 1 f ( x , y ) = ( x + y ) 2 - ( x + y ) + 1

Usando ( x + y ) = 1 2 , chegamos à f ( x , y ) = 3 4 , sendo esse o mínimo absoluto quando 2 x + 2 y = 1 .

Passo 6

(b)Assim, verificamos que 0 absoluto máximo é f ( 1,1 ) = 3 .

Resposta

Resposta nos passos.

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