Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.3 - Ex. 93
Disseram-lhe que existe uma função cujas derivadas parciais são e . Você deve acreditar nisso?
Passo 1
E aí, galera! Tudo certo? O enunciado nos dá:
Nessa questão nós temos as derivadas parciais de primeira ordem de uma função e queremos saber se deveríamos acreditar que essas derivadas estão corretas.
Como podemos dizer isso?
Bom, segundo o Teorema de Clairaut, se as derivadas de segunda ordem são contínuas, então Então, vamos calcular as derivadas de segunda ordem e ver se elas são iguais.
Tranquilo? Vamos lá então.
Passo 2
Sejam dadas a derivadas parciais:
Com as derivadas parciais fornecidas, conseguimos determinar a partir de e a partir de .
Assim: e .
As derivadas existem e são contínuas, mas não são iguais.
Segundo o teorema de Clairaut, elas deveriam ser iguais. Como isso não acontece, podemos dizer que as derivadas de primeira ordem não estão corretas, então não deveríamos acreditar nas derivadas dadas.
Resposta
Não.