Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.4 - Ex. 2
Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
2 –
Passo 1
E aí, galera! Beleza?
Nessa questão, nós temos a equação da superfície
e temos que determinar a equação do plano tangente a ela no ponto .
Para isso, vamos lembrar o seguinte: uma função de uma variável, , ela representa uma curva no . Dado um ponto dessa curva, podemos encontrar a equação da reta tangente a ela nesse ponto:
De forma análoga, dada uma função de duas variáveis sabemos que ela representa uma superfície em Dado um ponto nessa superfície, podemos encontrar a equação do plano tangente a ela nesse ponto:
onde e são as derivadas parciais da função no ponto e .
Agora que sabemos isso, vamos às contas...
Passo 2
Vamos pegar a nossa função
e calcular e :
Primeiro calculamos
Utilizando a regra da potência e a regra da cadeia, obtemos
No ponto temos
Agora calculamos
Derivando, temos
No ponto
Passo 3
Agora basta a gente aplicar a equação para o plano tangente:
Veja que é o valor da terceira coordenada do ponto, ou seja, em ,
Portanto,
Abrindo os termos, temos
Essa é a equação do plano tangente à superfície
no ponto .