Determine a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s).

w = x / (y + 2z); ∂³w / (∂z ∂y ∂x), ∂³w / (∂x² ∂y)

Passo 1

Falaeee, tudo tranquilinho? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função:

w = x y + 2 z

E queremos determinar duas derivadas parciais. Vamos analisar melhor elas...

A primeira derivada é a seguinte:

∂ 3 w ∂ z ∂ y ∂ x

Em outras palavras, queremos a derivada de terceira ordem de w . Assim, vamos derivar essa função três vezes seguidas e, em cada vez, vamos derivar com uma variável diferente.

A outra derivada é a seguinte:

∂ 3 w ∂ x 2 ∂ y

Essa também é uma derivada de terceira ordem. Mas aqui vamos derivar com relação a x duas vezes e uma vez com relação a y .

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Para resolver a derivada ∂ 3 w ∂ z ∂ y ∂ x , vamos usar esse caminho aqui:

∂ w ∂ x →     ∂ ² w ∂ y   ∂ x → ∂ ³ w ∂ z   ∂ y ∂ x

Assim, derivando primeiramente com relação a x :

∂ w ∂ x = ∂ ∂ x x y + 2 z

Colocando a parte constante para fora da derivada, temos:

∂ w ∂ x = 1 y + 2 z ⋅ ∂ ∂ x x

Derivando x , obtemos:

∂ w ∂ x = 1 y + 2 z

Passo 3

Agora vamos obter a segunda derivada com relação a y :

∂ 2 w ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y 1 y + 2 z

Aplicando a propriedade dos expoentes, temos:

∂ 2 w ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y y + 2 z - 1

Aplicando a Regra da Cadeia e derivando com relação a y , obtemos:

∂ 2 w ∂ y ∂ x = y + 2 z - 2 - 1 ∴

∂ 2 w ∂ y ∂ x = - y + 2 z - 2

Passo 4

Agora vamos obter a segunda derivada com relação a z :

∂ 3 w ∂ z ∂ y ∂ x = ∂ ∂ z - y + 2 z - 2

Aplicando a Regra da Cadeia e derivando com relação a z , obtemos:

∂ 3 w ∂ z ∂ y ∂ x = - - 2 y + 2 z - 3 2 ∴

∂ 3 w ∂ z ∂ y ∂ x = 4 y + 2 z - 3 ∴

∂ 3 w ∂ z ∂ y ∂ x = 4 y + 2 z 3

Pronto!!! Foi a primeira haha!!

Passo 5

Para resolver a derivada ∂ ³ w ∂ x ²   ∂ y , vamos usar esse caminho aqui:

∂ w ∂ x →     ∂ ² w ∂ y   ∂ x → ∂ ³ w ∂ y   ∂ x 2

Assim, derivando com relação a x , a gente viu no Passo 2 que:

∂ w ∂ x = 1 y + 2 z

E, no Passo 3, ao derivar com relação a y , vimos que:

∂ 2 w ∂ y ∂ x = - y + 2 z - 2

Agora vamos derivar com relação a x , ou seja:

∂ ³ w ∂ x ²   ∂ y = ∂ ∂ x - y + 2 z - 2

Perceba que a função não tem a variável x . Assim, ela é toda constante.

Com isso, sabemos que a derivada de uma constante é nula, portaaanto:

∂ ³ w ∂ x ²   ∂ y = 0

Resposta

∂ 3 w ∂ z ∂ y ∂ x = 4 y + 2 z 3

∂ ³ w ∂ x ² ∂ y = 0

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