Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.2 - Ex. 37
Dois corredores iniciam uma corrida no mesmo instante e terminam empatados. Demonstre que em algum momento durante a corrida, eles tinham a mesma velocidade. [Sugestão: Considere , onde e são as duas posições dos corredores.]
Passo 1
Fala aí, pessoal. Tudo certinho com vocês?
Bom, essa questão diz pra gente que dois corredores iniciam uma corrida no mesmo instante e terminam empatados.
Ela pede pra gente demonstrar que em algum momento durante a corrida, eles tinham a mesma velocidade.
Além disso, o enunciado ainda traz uma sugestão:
Considere , onde e são as duas posições dos corredores.
Para fazer isso, podemos usar o Teorema do Valor Médio.
Esse Teorema nos diz que:
Se é continua no intervalo fechado e é diferençável no intervalo aberto , então
Vem comigo que te mostro como.
Passo 2
Vamos chamar de e a posição dos dois corredores, então nossa função será:
Por hipótese, diremos que
Que é o início do movimento.
e
onde representa o tempo final.
Pelo Teorema do Valor Médio, há um tempo com , tal que:
Onde representa a velocidade, já que a mesma é a derivada do espaço em relação ao tempo.
Mas
pois houve empate no resultado final, então .
Desde que
nós temos que
Portanto, no tempo , ambos os corredores tiveram a mesma velocidade
E prontinho.
Resposta
Ver o desenvolvimento.