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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.2 - Ex. 30

Suponha que f seja uma função ímpar e derivável em toda a parte. Demonstre que para todo o número positivo b existe um número c em ( - b , b ) tal que f ' c = f b b .

Passo 1

Fala aí, pessoal.

Nessa questão, queremos provar para dada a função dada, a relação

f ' c = f b b

Para o intervalo - b , b .

E pra fazer isso vamos relembrar o que diz o teorema do valor médio:

“Sendo f a função que satisfaça às seguintes condições:

f é contínua no intervalo fechado de [ a ,   b ] ;

f é diferenciável no intervalo aberto de a ,   b ;

Então há um número c no intervalo aberto ( a ,   b ) onde

f ' c = f b - f a b - a

Podemos aplicar esse teorema e verificar a condição dada no enunciado.

Beleza. Vamos nessa!

Passo 2

Para o nosso caso queremos verificar que se

f satisfaz o Teorema do Valor Médio, então nós usaremos esse teorema no intervalo [ - b , b ] .

f b - f - b b - - b = f ' c

para algum c no intervalo ( - b , b )

como estamos supondo que f seja uma função ímpar, podemos dizer que:

f - b = - f ( b )

Assim, substituindo esse valor em

f b - f - b b - - b = f ' c

E arrumando os sinais, ficamos com:

f b + f b 2 b = f ' c

Somando os numeradores,

2 f b 2 b = f ' ( c )

E simplificando, teremos:

f b b = f ' ( c )

Prontinho, demonstramos!

Resposta

Demonstração

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