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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 5.Exercícios de Revisão - Ex. 18

  1. Duas molas são atadas em série, como mostrado na Figura 5.30. Ignorando a massa das molas, mostre que a constante elástica efetiva k é dada por 1 k = 1 k 1 + 1 k 2 .
  2. Um peso de W newtons distende uma mola em 1 2   m e distende uma outra em 1 4   m . As duas molas são atadas como na Figura 5.30 e o peso W é então atado na mola dupla. Supondo o movimento livre e sem força de amortecimento, determine a equação de movimento se o peso é solto de um ponto localizado 1   m abaixo da posição de equilíbrio com uma velocidade de 2 3   m / s para baixo.
  3. Mostre que a velocidade máxima do peso é 2 3 3 g + 1 .

Passo 1

E aí, tudo bem?

  1. Bom, temos que a constante efetiva das molas é k e vamos chamar de x 1 e   x 2 o alongamento das molas k 1   e   k 2 .

    2. As forças resultantes satisfazem:

    k 1 x 1 = k 2 x 2

    Então:

    x 2 = k 1 x 1 k 2

    De:

    k x 1 + x 2 = k 1 x 1

    Nós temos:

    k x 1 + k 1 k 2 x 2 = k 1 x 1

    k k 2 + k 1 k 2 = k 1

    k = k 1 k 2 k 1 + k 2

    1 k = 1 k 1 + 1 k 2

    E provamos o que a questão pediu😉

    Passo 2

  2. Para k 1 = 2 W     e     k 2 = 4 W , nós encontramos:

    3. 1 k = 1 2 W + 1 4 W = 3 4 W

    Então:

    k = 4 W 3 = 4 m g 3

    E aí a equação diferencial:

    m x ' ' + k x = 0

    Se torna:

    x ' ' + 4 g 3 x = 0

    Agora vamos resolver essa EDO...

    Passo 3

    Usando a equação auxiliar:

    m 2 + 4 g 3 = 0

    m = ± 2 g 3 i

    A solução então é:

    x t = c 1 cos ⁡ 2 g 3 t + c 2 sen ⁡ 2 g 3 t

    Agora vamos aplicar as condições iniciais: x 0 = 1   e   x ' 0 = 2 3 para descobrir c 1     e     c 2 :

    x 0 = c 1 cos ⁡ 0 + c 2 sen ⁡ 0 = 1

    c 1 = 1

    Derivando...

    x ' t =   - 2 g 3 c 1 sen ⁡ 2 g 3   t + 2 g 3 c 2 cos ⁡ 2 g 3   t

    x ' 0 = 2 g 3 c 2 = 2 3

    c 2 = 1 3 g

    A solução então é:

    x t = cos ⁡ 2 g 3 t + 1 3 g sen ⁡ 2 g 3 t

    Passo 4

  3. Temos que a derivada do peso é:

x ' t = 2 g 3 sen ⁡ 2 g 3 t + 2 3 cos ⁡ 2 g 3 t

E aí a amplitude vai ser:

A = 2 g 3 2 + 2 3 2

A = 4 g 3 + 4 9

                              A =   2 3 3 g + 1

E esse é o peso máximo, como queríamos demonstrar😉

Resposta

  1. 1 k = 1 k 1 + 1 k 2
  2. x t = cos ⁡ 2 g 3 t + 1 3 g sen ⁡ 2 g 3 t
  3.                               A =   2 3 3 g + 1
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