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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 5.2 - Ex. 13

Um peso de 312,5 g é atado a uma mola cuja constante de elasticidade vale 5 N m . O peso está acoplado a um dispositivo de amortecimento que oferece uma resistência igual a β ( β > 0 ) vezes a velocidade instantânea. Determine os valores da constante de amortecimento β para os quais o movimento subsequente seja (a) superamortecido, (b) criticamente amortecido e (c) subamortecido.

Passo 1

E aíí xuxus, vamos lá?

Pra começar, temos que montar a nossa equação diferencial

Para isso, vamos lembrar do modelo de um sistema massa mola amortecido:

m d 2 x d t 2 + β d x d t + k x = 0

No nosso caso, temos m = 312,5   g = 5 16 k g , k = 5   N / m , e o β é justamente o parâmetro que vamos analisar:

5 16 d 2 x d t 2 + β d x d t + 5 x = 0

Para analisarmos o amortecimento do sistema, vamos montar nossa equação auxiliar igual aprendemos lá atrás:

5 16 m 2 + β m + 5 = 0

Agora precisamos analisar as possibilidades de raíz dessa equação, beleza?

Passo 2

Temos a equação auxiliar:

5 16 m 2 + β m + 5 = 0

As raízes dessa equação são:

m = - β ± β 2 - 4 . 5 16 . 5 2.5 16

m = - β ± β 2 - 2 5 4 10 16

m = - β ± 4 β 2 - 25 5 8

Para estudarmos o amortecimento, vamos analisar o valor do ∆ , que é o 4 β 2 - 25 . E é o seguinte:

- Se ∆ > 0 , o sistema é superamortecido

- Se ∆ = 0 , o sistema é criticamente amortecido

- Se ∆ > 0 , o sistema e subamortecido

Passo 3

a) Para o sistema ser superamortecido:

4 β 2 - 25 > 0

4 β 2 > 25

β 2 > 25 4

β > 5 2

b) Para o sistema ser criticamente amortecido:

4 β 2 - 25 = 0

β = 5 2

c) Para o sistema ser subamortecido:

4 β 2 - 25 < 0

0 < β < 5 2

E é isso amoresss

Lembrando que só trabalhamos com β ' s positivos, viu?

Resposta

a )   β > 5 2

b )   β = 5 2

c )   0 < β < 5 2

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