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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 5.Exercícios de Revisão - Ex. 19a

Um circuito em série contém uma indutância L = 1   h e n r y , uma capacitância C = 10 - 4   f a r a d e uma força eletromotriz E t = 100 sen ⁡ 50 t   v o l t s . Inicialmente, a carga q e a corrente i são nulas.

  1. Encontre a equação para a carga em relação ao tempo.

Passo 1

Olá, tudo bem?

Bom, a equação diferencia da carga em relação ao tempo é dada por:

L d 2 q d t 2 + R d q d t + 1 C q = E ( t )

Então aqui no nosso caso vamos ter:

d q 2 d t 2 + 10 4 q = 100 sen ⁡ 50 t

Vamos resolver essa EDO então para definirmos a expressão da carga, beleza?

Passo 2

Aqui a nossa equação auxiliar vai ser:

m 2 + 10 4 = 0

m = ± 10 2 i

m = ± 100   i

Então nossa solução geral é:

q g t = c 1 cos ⁡ 100 t + c 2 sen ⁡ 100 t

Passo 3

Agora vamos para a solução particular. Vamos supor: q p = A sen ⁡ 50 t . Aí temos:

q p ' = 50 A cos ⁡ 50 t

q p ' ' = - 2500   A sen ⁡ 50 t

Substituindo, temos:

d q 2 d t 2 + 10 4 q = 100 sen ⁡ 50 t

- 2500 A sen ⁡ 50 t + 10 4 A sen ⁡ 50 t = 100 sen ⁡ 50 t

7500 A sen ⁡ 50 t = 100 sen ⁡ 50 t

A = 1 75

A solução particular então é:

q p = 1 75 sen ⁡ 50 t

Passo 4

Juntando as duas então, a solução da EDO é da forma:

q t = c 1 cos ⁡ 100 t + c 2 sen ⁡ 100 t + 1 75 sen ⁡ 50 t

Agora vamos aplicar as condições iniciais para descobrir c 1 e   c 2 . Temos: q 0 = 0 ; q ' 0 = 0 .

q 0 = c 1 cos ⁡ 0 + c 2 sen ⁡ 0 + 1 75 sen ⁡ 0 = 0

c 1 = 0

Derivando...

q ' t = - 100 c 1 sen ⁡ 100 t + 100 c 2 cos ⁡ 100 t + 2 3 cos ⁡ 50 t

q ' 0 = 100 c 2 + 2 3 = 0

c 2 = - 1 150

E, enfim, temos a equação da carga:

q t = - 1 150 sen ⁡ 100 t + 1 75 sen ⁡ 50 t

Resposta

q t = - 1 150 sen ⁡ 100 t + 1 75 sen ⁡ 50 t

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