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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 5.4 - Ex. 7

Nos problemas 7 e 8, encontre a carga no capacitor e a corrente no circuito em série L-R-C dado. Calcule a carga máxima no capacitor.

L = 5 3 h e n r y s ;     R = 10   o h m s ,     C = 1 30   f a r a d ,

    E t = 300   v o l t s ;     q 0 = 0   c o u l o m b ;     i 0 = 2   a m p e r e s

Passo 1

E aí, tudo bem?

Bom, a equação diferencial que relaciona a carga de um circuito é dada por:

L d 2 q d t 2 + R d q d t + 1 C q = E ( t )

Substituindo o que a questão nos deu, nossa equação fica:

5 3   q ' ' + 10 q ' + 30 q = 300

Agora vamos resolver essa EDO!

Passo 2

Essa é uma EDO de coeficientes constantes, então a gente resolve através da equação auxiliar:

5 3 m 2 + 10 m + 30 = 0

Resolvendo...

Δ = 100 - 200 = - 100

m ' = - 3 + 3 i

m ' ' = - 3 - 3 i

A solução da parte homogênea é essa:

q t g = e - 3 t c 1 cos ⁡ 3 t + c 2 sen ⁡ 3 t

Passo 3

Agora a gente precisa calcular a solução para a parte não homogênea. Como temos 300 do lado direito, vamos supor: q p = A :

q ' p = 0

q p ' ' = 0

Substituindo, ficamos com:

5 3   q ' ' + 10 q ' + 30 q = 300

5 3 0 + 10 0 + 30 A = 300

A = 10

Então temos:

q p = 10

Nossa solução geral então é:

q t = e - 3 t c 1 cos ⁡ 3 t + c 2 sen ⁡ 3 t + 10

Passo 4

Agora vamos usar nossos valores iniciais para descobrir o c 1   e   c 2 :

Temos os valores iniciais:

    q 0 = 0   c o u l o m b ;     i 0 = q ' ( 0 ) = 2   a m p e r e s

Vamos substituir isso na nossa solução então...

q 0 = e 0 c 1 cos ⁡ 0 + c 2 sen ⁡ 0 + 10 = 0

c 1 = - 10

E derivando...

q ' t = - 3 e - 3 t c 1 cos ⁡ 3 t + c 2 sen ⁡ 3 t + e - 3 t - 3 c 1 sen ⁡ 3 t + 3 c 2 cos ⁡ 3 t

E aí:

q ' 0 = - 3 e 0 c 1 cos ⁡ 0 + c 2 sen ⁡ 0 + e 0 - 3 c 1 sen ⁡ 0 + 3 c 2 cos ⁡ 0 = 2

- 3 c 1 + 3 c 2 = 2

30 + 3 c 2 = 2

3 c 2 = - 28

c 2 = - 28 3

A solução do PVI então é:

q t = e - 3 t - 10 cos ⁡ 3 t - 28 3 sen ⁡ 3 t + 10

Passo 5

Agora vamos calcular a carga máxima. Ela ocorre onde q ' t = i t = 0 . Derivando...

q ' t = - 3 e - 3 t - 10 cos ⁡ 3 t - 28 3 sen ⁡ 3 t + e - 3 t ( 30 sen ⁡ 3 t - 28 cos ⁡ 3 t )

= e - 3 t 30 cos ⁡ 3 t + 28 sen ⁡ 3 t + 30 sen ⁡ 3 t - 28 cos ⁡ 3 t

= e - 3 t 2 cos ⁡ 3 t + 58 sen ⁡ 3 t = 0

Então precisamos do ponto onde 2 cos ⁡ 3 t + 58 sen ⁡ 3 t = 0 . Isso ocorre em t = 5 π 6 , e aí temos a carga:

q 5 π 6 = e - 15 π 6 - 10 cos ⁡ 15 π 6 - 28 3 sen ⁡ 15 π 6 + 10

≈ 9,32   c o u l o m b s

Essa é a carga máxima 😉

Resposta

q t = e - 3 t - 10 cos ⁡ 3 t - 28 3 sen ⁡ 3 t + 10

Carga máxima: 9,32   c o u l o m b s

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Nos problemas 3 e 4, sem resolver, determine se o circuito em série L - R - C dado é superamortecido, criticamente amortecido ou subamortecido. L = 1h e n r y ; R = 2 0o h m s ; C = 0 , 0 1f a r a d
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