Efetua a antidiferenciação.

∫ 3 - 2 x   x 2   d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral (primitiva). Para essa integral, vamos fazer a substituição t = 3 - 2 x . Assim,

d t = - 2   d x ⇒ d x = - d t 2

Além disso, temos que

2 x = 3 - t ⇒ x = 3 - t 2 ⇒ x 2 = 3 - t 2 4

Assim,

I = ∫ 3 - 2 x   x 2   d x = - 1 2 ∫ t ⋅ 3 - t 2 4   d t = - 1 8 ∫ t   9 - 6 t + t 2   d t

Passo 2

Podemos escrever ainda

I = - 1 8 ∫ 9 t 1 2 - 6 t 3 2 + t 5 2   d t

Assim, fazendo a integração

I = - 1 8 9 ⋅ 2 3 t 3 2 - 6 ⋅ 2 5 t 5 2 + 2 7 t 7 2 + C = - 3 4 t 3 + 3 10 t 5 - 1 28 t 7 + C

Por fim, usando que t = 3 - 2 x :

I = - 3 4 3 - 2 x 3 + 3 10 3 - 2 x 5 - 1 28 3 - 2 x 7 + C

Resposta

- 3 4 3 - 2 x 3 + 3 10 3 - 2 x 5 - 1 28 3 - 2 x 7 + C

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