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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.2 - Ex. 19

Efetua a antidiferenciação.

int sqrt(3 - 2 x) x^2 d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral (primitiva). Para essa integral, vamos fazer a substituição t = 3 - 2 x . Assim,

d t = - 2 d x => d x = - (d t)/(2)

Além disso, temos que

2 x = 3 - t => x = (3 - t)/(2) => x^2 = ((3 - t)^2)/(4)

Assim,

I = int sqrt(3 - 2 x) x^2 d x = - (1)/(2) int sqrt(t) * ((3 - t)^2)/(4) d t = - (1)/(8) int sqrt(t) (9 - 6 t + t^2) d t

Passo 2

Podemos escrever ainda

I = - (1)/(8) int (9 t^((1)/(2)) - 6 t^((3)/(2)) + t^((5)/(2))) d t

Assim, fazendo a integração

I = - (1)/(8) (9 * (2)/(3) t^((3)/(2)) - 6 * (2)/(5) t^((5)/(2)) + (2)/(7) t^((7)/(2))) + C = - (3)/(4) sqrt(t^3) + (3)/(10) sqrt(t^5) - (1)/(28) sqrt(t^7) + C

Por fim, usando que t = 3 - 2 x :

I = - (3)/(4) sqrt((3 - 2 x)^3) + (3)/(10) sqrt((3 - 2 x)^5) - (1)/(28) sqrt((3 - 2 x)^7) + C

Resposta

- (3)/(4) sqrt((3 - 2 x)^3) + (3)/(10) sqrt((3 - 2 x)^5) - (1)/(28) sqrt((3 - 2 x)^7) + C

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