Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 80

Calcule a integral definida abaixo:

int_0^1 (1)/(root(3)((7 - 5 r)^2)) d r

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

int_0^1 (1)/(root(3)((7 - 5 r)^2)) d r u = 7 - 5 r d u = - 5 d r => (d u)/(- 5) = d r

Passo 2

Aplicando a substituição e retirando a constante do integrando temos:

int_0^1 (1)/(root(3)((7 - 5 r)^2)) d r = int_0^1 (1)/(root(3)(u^2)) (d u)/(- 5) = int_0^1 (1)/(u^((2)/(3))) (d u)/(- 5) = - (1)/(5) int_0^1 u^(- (2)/(3)) d u

Passo 3

Para efetuar esta integração utilizaremos a integração polinomial que é dada por:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

Assim:

- (1)/(5) int_0^1 u^(- (2)/(3)) d u = - (1)/(5) ((u^(((1)/(3))))/((1)/(3))) (1)/(0) = - (3)/(5) (u^((1)/(3))) (1)/(0)

Passo 4

Substituindo u pela função que atribuímos, temos:

- (3)/(5) (u^((1)/(3))) (1)/(0) = - (3)/(5) [(7 - 5 r)^((1)/(3))] (1)/(0)

Passo 5

Vamos agora substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

- (3)/(5) [(7 - 5 r)^((1)/(3))] (1)/(0) = - (3)/(5) [(7 - (5 xx 1))^((1)/(3)) - (7 - (5 xx 0))^((1)/(3))] =

= - (3)/(5) [(7 - 5)^((1)/(3)) - (7 - 0)^((1)/(3))] = - (3)/(5) (root(3)(2) - root(3)(7)) = (3 xx 7^((1)/(3)) - 3 xx 2^((1)/(3)))/(5)

Resposta

(3 xx 7^((1)/(3)) - 3 xx 2^((1)/(3)))/(5)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral indefinida. ∫ x 2 e x 3 d x
Encontre a integral indefinida geral. ∫ln ⁡ x2 x d x
Calcule a integral indefinida. ∫ e u 1 - e u 2 d u
Avalie a integral fazendo a substituição fornecida. ∫ x 2 x 3 + 1 d x , u = x 3 + 1
Calcule a integral indefinida. ∫ sen ⁡ π td t