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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.2 - Ex. 45

Efetue a antidiferenciação.

int (y + 3)/(( 3 - y )^(2 // 3)) d y

Passo 1

Pra essa integral, a gente segue a ideia mais intuitiva quando se tem um radical no denominador: a substituição com o que tá dentro do radical! Seja u = 3 - y , então d u = - d y . A integral fica

- int (6 - u)/(u^((2)/(3))) d u = - int ( 6 u^(- (2)/(3)) - u^((1)/(3)) ) d u

Que pode ser separada em duas integrais.

Passo 2

Assim, vamos ficar com

- 6 int u^(- (2)/(3)) d u + int u^((1)/(3)) d u = - 18 u + (3)/(4) u + C

Passo 3

Voltando de u pra y , fica

int (y + 3)/((3 - y)^((2)/(3))) d y = - 18 u + (3)/(4) u + C = - 18 (3 - y)^((1)/(3)) + (3)/(4) (3 - y)^((4)/(3)) .

Resposta

int (y + 3)/((3 - y)^((2)/(3))) d y = - 18 (3 - y)^((1)/(3)) + (3)/(4) (3 - y)^((4)/(3)) .

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