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Enunciado

Cálculo Numérico - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.10 - Ex. 14

No exercício abaixo, ache um intervalo em que se situa o erro de truncamento na aproximação do exercício 4, em que a integral é dada por:

∫ 0 π s e n x d x ; n=6

Passo 1

Bom a primeira coisa que temos que saber é qual a fórmula usada para responder essas questões de erro de truncamento usando regra do trapézio.

a formula usada para o erro de truncamento pela regra do trapézio é:

∈   =   - 1 12 b - a f ´ ´ η * ∆ x 2

Calma, calma... eu sei a fórmula parece feia, mas ela é bem simples até, vamos analisar com calma:

b = l i m i t e   s u p e r i o r   d a   i n t e g r a l

a = l i m i t e   i n f e r i o r   d a   i n t e g r a l

f ´ ´ η = s e g u n d a   d e r i v a d a   a p l i c a d a   n o   p o n t o   η

∆ x = b - a n

Em que n é o número de divisões dada na questão...

Ufaaaa... agora vamos aplicar tudo isso

Passo 2

Vamos encontrar o valor de ∆ x :

∆ x = b - a n = π - 0 6 = π 6

Passo 3

Agora vamos encontrar as derivadas da função dada:

f x = s e n ( x )

f ´ x =   c o s ⁡ ( x )

f ´ ´ x = - s e n ( x )

Se ficou um pouco confuso como chegou nessas derivadas, dar uma olhada no curso de cálculo rapidão e volta aqui pra gente conversar novamente.

Passo 4

O nosso intervalo é [ a ,   b ] , que seria então [ 0 ,   π ] . Então vamos a aplicar nossa derivada de segunda nesses pontos.

f ´ ´ π = - s e n π = 0

f ´ ´ 0 = - s e n 0 = 0

Passo 5

Agora vamos jogar na nossa fórmula e pronto estará tudo acabado:

∈ 1   =   - 1 12 b - a f ´ ´ π * π 6 2

∈ 1   =   - 1 12 π - 0 * 0 * π 6 2

∈ 1 = 0

∈ 2   =   - 1 12 b - a f ´ ´ 0 * π 6 2

∈ 2   =   - 1 12 π - 0 * 0 * π 6 2

∈ 2 = 0

Logo nosso intervalo será entre esses valores, ou seja:

  ∈   = 0

Chegamos ao fim. “que a força esteja com você”

Resposta

  ∈   = 0

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