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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.2 - Ex. 50

Efetue a antidiferenciação int (x^3)/(sqrt(1 - 2 x ²)) d x

Passo 1

Essa integral pode ser resolvida utilizando a técnica da substituição de variável na integral. A primeira coisa que devemos fazer é definir quem deverá ser substituído. Nessa questão, quem deverá ser substituído será 1 - 2 x ² , sendo chamado de u. Assim:

u = 1 - 2 x ² Vamos reorganizar a equação e aplicar a derivada dos dois lados da equação:

2 x^2 = 1 - u x^2 = (1 - u)/(2) (1) 2 x d x = - (1)/(2) d u x d x = - (1)/(4) d u (2)

Passo 2

Vamos analisar a integral para efetarmos a substituição dos termos. Da equação 2 temos do lado esquerdo a expressão x d x , que pode ser facilmente obtida através de uma manipulação matemática na expressão da integral, abrindo o x ³ em x ² . x

int (x^3)/(( 1 - 2 x ² )^(1 // 2)) d x = int (x^2 x)/(( 1 - 2 x ² )^(1 // 2)) d x

Feito isso, podemos substituir as variáveis.

int (x^2)/(u^((1)/(2))) ( - (1)/(4) ) d u

O termo x ² pode ser obtido através da manipulação da substituição da variável u. Nesse caso, ela já foi calculada no Passo 1, na quação (1). Fazendo a substituição na integral temos:

int ((1 - u)/(2))/(u^((1)/(2))) ( - (1)/(4) ) d u

Passo 3

Feita a substituição resta apenas resolver a integral.

- int ((1 - u)/(2))/(4 u^((1)/(2))) d u = - int (( 1 - u ) u^(- 1 // 2))/(2 * 4) d u - int (( u^(- (1)/(2)) - u^((1)/(2)) ))/(8) d u - (1)/(8) [(u^((1)/(2)))/(1 // 2) - (u^((3)/(2)))/(3 // 2)] - (1)/(8) [2 (1 - 2 x ²)^((1)/(2)) + (2)/(3) (1 - 2 x ²)^((3)/(2))] + C

Resposta

O resultado final é:

int (x^3)/(sqrt(1 - 2 x ²)) d x = - (1)/(8) [2 (1 - 2 x ²)^((1)/(2)) + (2)/(3) (1 - 2 x ²)^((3)/(2))] + C

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