Efetue a antidiferenciação int (x^3)/(sqrt(1 - 2 x ²)) d x ²

O resultado final é:int (x^3)/(sqrt(1 - 2 x ²)) d x = - (1)/(8) [2 (1 - 2 x ²)^((1)/(2)) + (2)/(3) (1 - 2 x ²)^((3)/(2))] + C ² ² ²

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.2 - Ex. 50

Efetue a antidiferenciação

Passo 1

Essa integral pode ser resolvida utilizando a técnica da substituição de variável na integral. A primeira coisa que devemos fazer é definir quem deverá ser substituído. Nessa questão, quem deverá ser substituído será , sendo chamado de u. Assim:

Vamos reorganizar a equação e aplicar a derivada dos dois lados da equação:

(1)(2)

Passo 2

Vamos analisar a integral para efetarmos a substituição dos termos. Da equação 2 temos do lado esquerdo a expressão , que pode ser facilmente obtida através de uma manipulação matemática na expressão da integral, abrindo o em

Feito isso, podemos substituir as variáveis.

O termo pode ser obtido através da manipulação da substituição da variável u. Nesse caso, ela já foi calculada no Passo 1, na quação (1). Fazendo a substituição na integral temos:

Passo 3

Feita a substituição resta apenas resolver a integral.

Resposta

O resultado final é:

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