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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.2 - Ex. 54a

Calcule ∫ x ( x 2 + 2 ) ² d x por dois métodos: (a) expandindo ( x 2 + 2 ) ² e multiplicando o resultado por x.

Passo 1

A expansão binomial é reponsável por nos dar o formato expandido dos produtos notáveis da forma ( a + b ) n . A forma geral dele é dada pela seguinte expressão:

( a + b ) n = n 0 a n b 0 + n 1 a n - 1 b 1 + n 2 a n - 2 b 2 + … + n n - 1 a 1 b n - 1 + n n a 0 b n ,

Onde n n é um elemento do triângulo de pascal.

Na nossa questão, temos um cubo da soma para ser expandido. Portanto, vamos expandi-lo.

x ² + 2 2 = 2 0 x ² 2 2 0 + 2 1 x ² 1 2 1 + 2 2 x ² 0 2 2 x ² + 2 2 = x 4 + 2 . 2 x 2 + 4 x ² + 2 2 = x 4 + 4 x 2 + 4

Passo 2

Vamos agora substituir o resultado encontrado no passo 1 na integral para resolvê-la.

∫ x 4 + 4 x 2 + 4 x d x = ∫ x 5 + 4 x 3 + 4 x d x = A integral de uma soma pode ser escrito como a soma de integrais. Logo,

∫ x 5 + 4 x 3 + 4 x d x = ∫ x 5 d x + ∫ 4 x 3 d x + ∫ 4 x d x

Passo 3

Feita a separação das integrais, vamos resolvê-las.

∫ x 5 d x + ∫ 4 x 3 d x + ∫ 4 x d x = x 6 6 + 4 x 4 4 + 4 x 2 2 + C = x 6 6 + x 4 + 2 x 2 + C

Resposta

O resultado final é:

∫ ( 2 x + 1 ) ³ d x =   2 x 4 + 4 x 3 + 3 x 2 + x + C

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1-24. a) Use a Tabela de Integrais para calcular a integral. b) Se o leitor dispuses de um CAS, use-o para calcular a integral e, então, confirme que o resultado é equivalente ao que foi obtido em a).
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Faça a substituição u indicada e, então, use a Tabela de Integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS, use-o para calcular a integral e, então, prove que o resultado é equiva
Faça a substituição u indicada e, então, use a Tabela de Integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS, use-o para calcular a integral e, então, prove que o resultado é equiva